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概率论与数理统计
第五篇 随机变量的数字特征
方差和标准差的定义
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更新:
2023-10-01 11:28
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方差和标准差的定义
定义1 设 $X$ 是一个随机变量，如果 $E\left[(X-E(X))^2\right]$ 存在，则称 $$ D(X) = E\left[(X-E(X))^2\right] $$ 为随机变量 $X$ 的方差。 称方差的算术平方根 $\sigma_X =\sqrt{D(X)}$ 为随机变量的标准差。 当 $X$ 为离散型随机变量，其概率函数为 $P\left(X=x_i\right)=p_i, \quad i=1,2, \cdots$, 如果级数 $\sum_i\left[x_i-E(X)\right]^2 p_i$ 收敛，则 $X$ 的方差为 $D(X)=\sum_i\left[x_i-E(X)\right]^2 p_i$; 当 $X$ 为连续型随机变量，其概率密度为 $f(x)$ ，如果广义积分 $$ \int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2 f(x) d x $$ 收敛，则 $X$ 的方差为 $$ D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2 f(x) d x . $$ 在实际计算方差时，我们更多的是使用下列公式，这样更简便，    
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