方差的置信区间

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 17 次更新导出Word

01 期望 $\mu$ 已知，方差 $\sigma^2$ 的双侧置信区间；
02 期望 $\mu$ 末知，方差 $\sigma^2$ 的双侧置信区间.
(1)期望 $\mu$ 已知，方差 $\sigma^2$ 的双侧置信区间
当 $\mu$ 已知时， $\sigma^2$ 的无偏估计为 $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2-\mu^2$ ，

$$
G\left(\hat{\sigma}^2, \sigma^2\right)=\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2 \sim \chi^2(n)
$$

取 $a<b$ 满足

$$
P\left(a \leq \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2 \leq b\right)=1-\alpha
$$

取 $a=\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n), b=\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n)$
此时，对应的 $\sigma^2$ 的双侧 $1-\alpha$ 置信区间为:

$$
\left[\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n)}, \frac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n)}\right] .
$$

$\sigma^2$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间为:

$$
\left(-\infty, \frac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2}{\chi_\alpha^2(n)}\right] \text { 和 }\left[\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2}{\chi_{1-\alpha}^2(n)},+\infty\right)
$$

(2)期望 $\mu$ 末知, 方差 $\sigma^2$ 的双侧置信区间
当 $\mu$ 末知时， $\sigma^2$ 的无偏估计为 $\hat{\sigma}^2=S^2$ ，

$$
G\left(\sigma^2, S^2\right)=\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)
$$

取 $a=\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) ， b=\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)$ ，

$$
P\left(a \leq \frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \leq b\right)=1-\alpha
$$

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