最后更新: 2023-10-01 11:28 查看: 189 次下载编辑本文科数网

均值差的置信区间

01 已知方差 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ ，均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的双侧置信区间，
02 末知方差 $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$ ，均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的双侧置信区间.
已知方差 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ ，均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的双侧置信区间 $\mu_1-\mu_2$ 的无偏估计为 $\bar{X}-\bar{Y}$ $\mu_1-\mu_2$ 的无偏估计为 $\bar{X}-\bar{Y}$

$$
G\left(\mu_1-\mu_2, \bar{X}-\bar{Y}\right)=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\left(\mu_1-\mu_2\right)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+\frac{\sigma_2^2}{n}}} \sim N(0,1) .
$$

则 $a, b$ 满足
![图片](/uploads/2023-01/image_20230103486db6b.png)
取 $a=u_{\frac{\alpha}{2}}=-u_{1-\frac{\alpha}{2}} ， b=u_{1-\frac{\alpha}{2}}$ ，

![图片](/uploads/2023-01/image_202301034d6acbd.png)

例1
设 $X_1, X_2, \ldots, X_{2 n}$ 是取自正态总体 $N\left(\mu_1, 18\right)$ 的一组样本， $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ 是取自正态总体 $N\left(\mu_2, 16\right)$ 的一组样本，要使 $\mu_1-\mu_2$ 的双侧 $95 \%$ 置信区间的长度不超过 $l$ ，问 $n$ 至少要 取多大?
解
$\bar{X}-\bar{Y}$ 为 $\mu_1-\mu_2$ 的点估计，由于 $\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$ 已知，故有

$$
\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\left(\mu_1-\mu_2\right)}{\sqrt{\frac{18}{2 n}+\frac{16}{n}}} \sim N(0,1),
$$

故 $\mu_1-\mu_2$ 的双侧 $1-\alpha$ 置信区间为

$$
\left[\bar{X}-\bar{Y}-u_{1-\frac{q}{2}} \sqrt{\frac{18}{2 n}+\frac{16}{n}}, \bar{X}-\bar{Y}+u_{1-\frac{q}{2}} \sqrt{\frac{18}{2 n}+\frac{16}{n}}\right] .
$$

置信区间的长度 $L=2 u_{0975} \sqrt{\frac{18}{2 n}+\frac{16}{n}}=\frac{19.6}{\sqrt{n}} \leq l$
故 $n \geq \frac{384.16}{l^2}$ ，即 $n$ 至少要取 $\left[\frac{384.16}{l^2}\right]+1$.

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103070438c.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103b161587.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_202301038582a06.png)
例 2 设某公司所属的两个分店的月营业额分别服从 $\mathrm{N}\left(\mu_i, \sigma^2\right), i=1,2$. 先从第一分店抽取 了容量为 40 的样本，求得平均月营业额为 $\bar{x}=22653$ 万元，样本标准差为 $s_X=64.8$ 万元；第 二分店抽取了容量为 30 的样本，求得平均月营业额额为 $\bar{y}=12291$ 万元，样本标准差为 $s_Y=62.2$ 万元. 试求 $\mu_1-\mu_2$ 的双侧 $0.95$ 置信区间.
解 $\bar{X}-\bar{Y}$ 为 $\mu_1-\mu_2$ 的点估计，由于 $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$ 末知，故 $\mu_1-\mu_2$ 的双侧 $1-\alpha$ 置信区间为 $\left[\bar{X}-\bar{Y}-t_{1-\frac{\alpha}{2}}(m+n-2) S_w \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}, \bar{X}-\bar{Y}+t_{1-\frac{\alpha}{2}}(m+n-2) S_w \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\right]$.
由样本观察值得: $\bar{x}-\bar{y}=10362, t_{0.975}(68) \approx u_{0.975}=1.96$,

$$
S_w^2=\frac{(m-1) S_X^2+(n-1) S_Y^2}{m+n-2}=\frac{39 \times 64.8^2+29 \times 62.2^2}{40+30-2}=4058.22, S_w=63.7 \text {, }
$$

故 $\mu_1-\mu_2$ 的双侧 95\%置信区间观察值为
即为 $[10332,10392]$.

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