日期: 2023-10-08 13:48 查看: 165 次编辑

反常积分

反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

## 几何意义

反常积分存在时的几何意义：函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。 例如 $\int_0^a \frac{d x}{\sqrt{a^2-x^2}}(a>0)$ 的几何意义是: 位于曲线 $y=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ 之下， $\mathrm{X}$ 轴之上，直线 $\mathrm{x}=0$ 和 $\mathrm{x}=\mathrm{a}$ 之间的图形面积， 而 $\mathrm{x}=\mathrm{a}$ 点的值虽使 $y=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ 无穷，但面积可求。

## 类型

1.无穷区间反常积分
每个被积函数只能有一个无穷限，若上下限均为无穷限，则分区间积分。

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_a^c f(x) d x+\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_c^b f(x) d x \neq \lim _{a \rightarrow \infty} \int_{-a}^a f(x) d x
$$

2.无界函数反常积分
即瑕积分，每个被积函数只能有一个瑕点，多个瑕点则分区间积分。

$$
\begin{aligned}
& \int_a^b f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0-} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) d x \quad(\mathrm{f}(\mathrm{b}) \text { 无界) } \\
& \int_a^b f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) d x \text { ( } \mathrm{f}(\mathrm{a}) \text { 无界) } \\
& \int_a^{+\infty} f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0+} \int_{c+\varepsilon}^{+\infty} f(x) d x \text { (区间内点 } \mathrm{f}(\mathrm{c}) \text { 无界) }
\end{aligned}
$$

3.混合反常积分
对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和

## 敛散性判断

反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类 无穷限 $\int_a^{+\infty} f(x) d x$ 而言，当 $\mathrm{x} \rightarrow+\infty$ 时， $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界 函数 $\int_a^b f(x) d x$ 而言，当 $\mathrm{x} \rightarrow \mathrm{a}^{+}$时， $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 必为无穷大，且无穷大的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于 1，注意识别反常积分。

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