高阶常微分方程

日期: 2023-10-21 21:57 查看: 16 次更新导出Word

对于一个一般的高阶常微分方程没有一般通用解法，能解出的方程也十分稀少，一个可行的策略是将高阶的方程转化为更低阶的方程，例如化二阶微分方程为一阶微分方程，这样在一定程度上可以简化计算。

## 降阶积分型

设一个 $n$ 阶常微分方程中不显含 $y, y^{\prime}, \cdots, y^{(k-1)}$ ，即

$$
F\left(x, y^{(k)}, y^{(k+1)}, \cdots, y^{(n)}\right)=0 .
$$

令 $z(x)=y^{(k)}(x)$ ，就得到

$$
F\left(x, z, z^{\prime}, \cdots, z^{(n-k)}\right)=0 .
$$

设法若求得上述低阶方程的通解

$$
z(x)=\varphi\left(x, C_1, C_2, \cdots, C_{n-k}\right) .
$$

对其积分 $k$ 次，就得到

$$
y(x)=\psi\left(x, C_1, C_2, \cdots, C_n\right) .
$$

## 导数代换型

设一个 $n$ 阶常微分方程中不显含自变量 $x$ ，即

$$
F\left(y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \cdots, y^{(n)}\right)=0 .
$$

做代换 $z(y)=y^{\prime}(x)$ ，将 $y$ 视作新变元，注意到

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime}=z, \\
y^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=z \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} y}, \\
y^{\prime \prime \prime}=\frac{\mathrm{d} y^{\prime \prime}}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y^{\prime \prime}}{\mathrm{d} y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=z\left(\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} y}\right)^2+z^2 \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{~d} y^2}, \\
\cdots
\end{array}\right.
$$

这样，原来的 $n$ 阶方程可以化为如下 $n-1$ 阶方程

$$
G\left(y, z, \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} y}, \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{~d} y^2}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^{n-1} z}{\mathrm{~d} y^{n-1}}\right)=0 .
$$

## 齐次微分方程的特解变换

这里假设齐次微分方程是变系数的，常系数的在Euler 待定指数函数法和非齐次常系数线性常微分方程中已有讨论.

若已知齐次线性微分方程

$$
\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{~d} x^n}+a_1(x) \frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{\mathrm{~d} x^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}(x) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+a_n(x) y=0
$$

的 $k$ 个非零线性无关的特解 $y_j(x), j=1,2, \cdots, k$ ，可以通过适当的变换，使其阶数降低 $k$ 阶，得到一个 $n-k$ 阶的齐次微分方程。

令 $y(x)=y_k(x) z(x)$ ，根据莱布尼兹公式得到它的各阶导数

$$
y^{(j)}(x)=\sum_{j=1}^j\left(\begin{array}{l}
j \\
i
\end{array}\right) y_k^{(i)}(x) z^{(j-i)}(x), \quad j=1,2, \cdots, k .
$$

将它们代入 $(*)$ 中，得到

$$
\sum_{j=0}^n \sum_{i=0}^{n-j}\left(\begin{array}{c}
n-i \\
j
\end{array}\right) a_i(x) y_k^{(n-j-i)}(x) z^{(j)}(x)=0
$$

其中 $a_0(x)=1,\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)=1$ ，注意到 $j=0$ 时

$$
\sum_{i=0}^n\left(\begin{array}{c}
n-i \\
0
\end{array}\right) a_i(x) y_k^{(n-i)}(x) z(x)=0
$$

及 $y_k(x)$ 时方程 $(*)$ 的一个解，上式恒成立，消去后便得到

$$
\sum_{j=1}^n \sum_{i=0}^{n-j}\left(\begin{array}{c}
n-i \\
j
\end{array}\right) a_i(x) y_k^{(n-j-i)}(x) z^{(j)}(x)=0 .
$$

它是一个不显含因变量 $z(x)$ 的方程，最高阶导数项系数是 $y_k(x)$ ，由导数代换型的分析，引入新变量 $w(x)=z^{\prime}(x)$ ，并在上式中各项同时除以 $y_k(x)$ ，便得到

$$
w^{(n-1)}(x)+b_1(x) w^{(n-2)}(x)+\cdots+b_{n-1} w(x)=0,
$$

方程的阶数降了一阶，且 $y(x)=y_k(x) \int w(x) \mathrm{d} x$.
因此，利用 $k$ 个线性无关的特解，可以将原方程降低 $k$ 阶，得到 $n-k$ 阶的较为简单的方程。

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