最后更新: 2023-10-21 22:01 查看: 163 次下载编辑本文科数网

线性常微分方程组

设 $a_{i j}(x), f_i(x), i, j=1,2, \cdots, n$ 是区间 $[a, b]$ 上的一元实函数，且 $y_i, i=1,2, \cdots, n$ 是关于 $x$ 的未知函数，称

$$
\left\{\begin{array}{l}
y_1^{\prime}=a_{11}(x) y_1+a_{12}(x) y_2+\cdots+a_{1 n}(x) y_n+f_1(x), \\
y_2^{\prime}=a_{21}(x) y_1+a_{22}(x) y_2+\cdots+a_{2 n}(x) y_n+f_2(x), \\
\cdots, \\
y_n^{\prime}=a_{n 1}(x) y_1+a_{n 2}(x) y_2+\cdots+a_{n n}(x) y_n+f_n(x) .
\end{array}\right.
$$

为一个线性常微分方程组，一般我们只关心未知函数变量个数和方程个数相等的方程组。

## 记号

如果引入函数矩阵以及向量值函数

$$
\boldsymbol{A}(x)=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11}(x) & a_{12}(x) & \cdots & a_{1 n}(x) \\
a_{21}(x) & a_{22}(x) & \cdots & a_{2 n}(x) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1}(x) & a_{n 2}(x) & \cdots & a_{n n}(x)
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{f}(x)=\left(\begin{array}{c}
f_1(x) \\
f_2(x) \\
\vdots \\
f_n(x)
\end{array}\right)
$$

和未知函数向量及其导数

$$
\boldsymbol{y}(x)=\left(\begin{array}{c}
y_1(x) \\
y_2(x) \\
\vdots \\
y_n(x)
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{y}^{\prime}(x)=\left(\begin{array}{c}
y_1^{\prime}(x) \\
y_1^{\prime}(x) \\
\vdots \\
y_n^{\prime}(x)
\end{array}\right)
$$

那么方程组 $(*)$ 便可形式地写作

$$
\boldsymbol{y}^{\prime}(x)=\boldsymbol{A}(x) \boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x) \quad(* *) .
$$

简写为

$$
\boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{y}+\boldsymbol{f}
$$

我们现在给上式以明确意义：对函数矩阵以及向量值函数，规定它们的所有有关一元实函数的性质都是对所有分量函数而言的，例如，说函数矩阵 $\boldsymbol{A}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，是指每个分量函数 $a_{i j}(x), i, j=1,2, \cdots, n$ 在 $[a, b]$ 上连续，求导和求积分都是这样，一元实函数中成立的相关导数公式可以推广到此。

## 解向量

我们称微分方程组的解为解向量，它是一个确定的有关自变量 $x$ 的函数向量，对于一个有关自变量 $x$ 的函数向量 $\boldsymbol{y}(x)$ ，将它带入方程组 $(* *)$ 中满足等式成立，就说它是方程组 $(* *)$ 的解向量，能用一个含有某些参数表示微分方程组的所有解向量的解向量 $\boldsymbol{y}\left(x, c_1, c_2, \cdots, c_n\right)$ ，称作微分方程组的通解。

设 $\boldsymbol{\eta}$ 为常向量， $x_0 \in[a, b]$ ，称满足下列条件

$$
\boldsymbol{y}^{\prime}(x)=\boldsymbol{A}(x) \boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x), \quad \boldsymbol{y}\left(x_0\right)=\boldsymbol{\eta}, \quad(* * *)
$$

的解向量 $\boldsymbol{y}(x)$ 如果存在，就称为方程组 $(* *)$ 满足初值问题 $\boldsymbol{y}\left(x_0\right)=\boldsymbol{\eta}$ 的解。

## 存在唯一性定理

设 $a_{i j}(x), f_i(x), i, j=1,2, \cdots, n$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数，且 $y_i, i=1,2, \cdots, n$ 是关于 $x$ 的未知函数，设 $\boldsymbol{\eta}$为常向量， $x_0 \in[a, b]$ ，满足下列条件

$$
\boldsymbol{y}^{\prime}(x)=\boldsymbol{A}(x) \boldsymbol{y}(x)+\boldsymbol{f}(x), \quad \boldsymbol{y}\left(x_0\right)=\boldsymbol{\eta}, \quad(* * *)
$$

的解 $\boldsymbol{\varphi}(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上存在且唯一。
以上定理的证明类似于一阶常微分方程的解的存在唯一性的证明，也是分别证明五个命题得到，核心还是使用了皮卡迭代。

1. 原方程 $(* * *)$ 等价于积分方程

$$
\boldsymbol{y}(x)=\boldsymbol{\eta}+\int_{x_0}^x[\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{y}(t)+\boldsymbol{f}(t)] \mathrm{d} t .
$$

2. 选取初始迭代函数向量 $\boldsymbol{\varphi}_0(x)=\boldsymbol{\eta}$ ，做逐步逼近的函数向量序列

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\varphi}_1(x)=\boldsymbol{\eta}+\int_{x_0}^x\left[\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{\varphi}_0(t)+\boldsymbol{f}(t)\right] \mathrm{d} t, \\
& \boldsymbol{\varphi}_2(x)=\boldsymbol{\eta}+\int_{x_0}^x\left[\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{\varphi}_1(t)+\boldsymbol{f}(t)\right] \mathrm{d} t
\end{aligned}

$$
\boldsymbol{\varphi}_n(x)=\boldsymbol{\eta}+\int_{x_0}^x\left[\boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{\varphi}_{n-1}(t)+\boldsymbol{f}(t)\right] \mathrm{d} t .
$$

在上述假设下，我们称 $\varphi_n(x)$ 为第 $n$ 次迭代的数值近似解。可以证明， $\varphi_n(x)$ 对所有的正整数 $n$ 都在 $[a, b]$上连续。
3. 向量函数序列 $\left\{\boldsymbol{\varphi}_n(x)\right\}_{n=0}^{\infty}$ 在 $[a, b]$ 上一致收玫，记其极限函数向量为 $\boldsymbol{\varphi}(x)$ 。该一致收敛需要借助向量范数和矩阵范数来描述。
4. 极限函数向量 $\boldsymbol{\varphi}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，进而它就是原方程所对应的一个连续解。
5. 满足原方程的解向量是唯一的，即若存在两个原方程的解向量 $\boldsymbol{\varphi}(x)$ 以及 $\boldsymbol{\psi}(x)$ ，则必有 $\boldsymbol{\varphi}(x)=\boldsymbol{\psi}(x), \forall x \in[a, b]$.

上一篇：高阶常微分方程

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)

科数网知识库旨在打造一个可以顺序阅读的在线电子学习教程，点击顶部的编辑本文来完善本文，如果本文对您有用，我们感觉很高兴。科数网目前处于严重的亏损状态，也欢迎赞助我们，支持本站的发展。

0 篇笔记写笔记

更多笔记