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正弦定理
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2023-10-12 20:50
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正弦定理
**正弦定理** 正弦定理是三角学中的一个定理。它指出：对于任意 $\triangle ABC$ 有 $$ \frac {a}{\sin \angle A} = \frac {b}{\sin \angle B} = \frac {c}{\sin \angle C} =2 $$ 如下图 {width=300px} ## 证明 先以特殊三角形直角三角形为例证明 在直接三角形里， $ \angle A=\frac{\pi}{2} $ $ \sin B=\frac{b}{a}=\frac{b}{2 R}$ ，即 $ \frac{b}{sinB}=2R$ $ \sin C=\frac{c}{a}=\frac{c}{2 R} $ ，即$ \frac{c}{sinC}=2R $ 而$ \frac{a}{\sin A}=\frac{2 R}{\sin \frac{\pi}{2}}=2 R$ 故： $ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R$ {width=280px} 同理，当ABC是锐减三角形或者钝角三角形时，也可以得到上述结论，参考下图 {width=280px} 和 {width=280px} 推论：$a:b:c=sinA:sinB:sinC$ 即三角形三边比值等于该三角型三个角度的正弦比值。
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