L' Hospital 法则

日期: 2023-10-18 14:24 查看: 17 次更新导出Word

L' Hospital 法则（洛必达法则）是一个利用导数求解函数不定型极限的重要方法
**不定型极限**
不定型极限也称未定式它包括基本不定型 $\frac{0}{0} 、 \frac{\infty}{\infty}$ 以及其它不定型 $0 \cdot \infty, \infty-\infty, 1^{\infty}, \infty^0, 0^0$ 等。后面的其它不定型都可化为基本不定型。

## L' Hospital 法则基本内容

以基本不定型 $\frac{0}{0} 、 \frac{\infty}{\infty}$ 为例。
定义在去心邻域 $U^{\circ}\left(x_0\right)$ 内可导函数 $f(x), g(x)$ ， 如果:

1. $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=0$ 或 $\lim _{x \rightarrow x_0}|f(x)|=\lim _{x \rightarrow x_0}|g(x)|=\infty$
2. $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A \in \overline{\mathbb{R}}$ ，且 $g^{\prime}(x) \neq 0$ 。
   那么

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=A .
$$

这里以极限过程 $x \rightarrow x_0$ 为例，其它五种极限过程也有类似的结论。其它不定型极限可化为基本不定型极限，见这里。

## 失效情形

该法则的条件一般是后验的，即先尝试对分子分母同时求导，再观察极限是否存在，一般极限不存在时该法则就会失效，常见的有

1. 分子或分母含有有界量控制下的无穷小量，例如 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x+2 \sin x}{5 x-3 \cos x}=\frac{3}{5}$.
2. 分子分母的阶数不会降低，常见于阶数为无穷大的指数型比值极限，例如 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}=1$.
3. 多次使用该法则会陷入死循环，上例即为一例，此外还有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1$.
   此外如果分子分母求导后会变得越来越复杂，也不建议使用该法则，例如多层超越函数嵌套的类型。

## 复变函数

在复变函数论中，也有相应的 L' Hospital 法则的推广，设一复变函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点解析，且满足
4. $f\left(z_0\right)=g\left(z_0\right)=0$;
5. $g^{\prime}\left(z_0\right) \neq 0$.
那么

$$
\lim _{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)}{g(z)}=\lim _{z \rightarrow z_0} \frac{f^{\prime}(z)}{g^{\prime}(z)} .
$$

复变函数中的这一推广法则也可以连续使用，只要一直满足条件一。

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