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初等数论 Elementary Number Theory
初等数论
二元一次不定方程
二元一次不定方程
日期:
2023-10-24 14:11
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在数论中,二元一次不定方程是形如 $$ a x+b y=c $$ 的不定方程,其中 $a, b$ 是整数,这个方程是关于整数变量 $x, y$ 的方程。 ## 解法 定理:上述方程有解的充要条件是 $(a, b) \mid c$ ,在有解时,若已知方程有一组特解 $\left(x_0, y_0\right)$ ,那么它的所有解的形式是 $$ \left\{\begin{array}{l} x=x_0+\frac{b}{(a, b)} s, \\ y=y_0-\frac{a}{(a, b)} s, \end{array} s \in \mathbb{Z} .\right. $$ 因此,我们仅需求出一组特解即可,如果方程有解,我们总可以将上述方程先做化简,为 $$ \frac{a}{(a, b)} x+\frac{b}{(a, b)} y=\frac{c}{(a, b)} $$ 下面,我们总假设 $(a, b)=1$. 做变换 $x=c x^{\prime}, y=c y^{\prime}$ ,于是,原方程等价于 $$ a x^{\prime}+b y^{\prime}=1 \text {. } $$ 当式子简单时可以直接看出一组解,其实,注意到这就是在辗转相除法中介绍的贝祖等式,它可以由辗转相除的方法求出一组特解 $\left(x_0^{\prime}, y_0^{\prime}\right)$ ,进而带入所作的变换中,有原方程的特解 $\left(x_0, y_0\right)=\left(c x_0^{\prime}, c y_0^{\prime}\right)$ ## 示例 求方程 $28 x+92 y=52$ 的所有整数解。 因为 $(28,92)=4 \mid 52$ ,所以原方程有解。原方程化为 $7 x+23 y=13$ ,先解方程 $7 x^{\prime}+23 y^{\prime}=1$ ,对 $(23,7)$做辗转相除,有 $23=3 \times 7+2 \quad 7=3 \times 2+1$. 于是 $1=7-3 \times 2=7-3 \times(23-3 \times 7)=10 \times 7-3 \times 23$. 于是题目中的方程一组特解为 $\left(x_0, y_0\right)=13(10,-3)=(130,-39)$ ,所有的解为 $$ \left\{\begin{array}{l} x=130+23 s, \\ y=-39-7 s, \end{array} \quad s \in \mathbb{Z} .\right. $$ 当数字过大时,可以不用先找 $(a, b)$ ,也不用判断是否有解,直接做辗转相除即可。 ## 正解的问题 在实际应用场合中,有时要求方程的解取正数或非负数,这时由以上方法取得的解有一部分可能不适用,这时就要对方程做更精细的讨论。对于方程 $$ a x+b y=c $$ 当 $a, b$ 异号 (不妨假设 $a>0$ ) 时,方程总有无穷多组非负解,只需要在解的通式 $$ \left\{\begin{array}{l} x=x_0-\frac{b}{(a, b)} s, \\ y=y_0+\frac{a}{(a, b)} s, \end{array} \quad s \in \mathbb{Z} .\right. $$ 中取充分大的 $s$ 即可。 当 $a, b$ 同号时,只有 $a, b, c$ 同号时才有可能存在非负解,实际上可以证明:当 $c>a b-a-b$ 时不定方程有非负解,解的个数为 $\left[\frac{c}{a b}\right]$ 或 $\left[\frac{c}{a b}\right]+1$ (需验证不同情形),而当 $c=a b$ 时不定方程无非负解。要求出这些解,只需在解的通式中令两个未知元大于等于零即可。 而如果 $x=0$ 或 $y=0$ ,必须满足 $b \mid c$ 或 $a \mid c$ 。同样假设 $a, b, c$ 同号,那么当 $c>a b$ 时原不定方程有正解,且解数为 $-\left[-\frac{c}{a b}\right]-1$ 或 $-\left[-\frac{c}{a b}\right]$ ,而当 $c=a b$ 时不定方程无正解。要求出这些解,只需在解的通式中令两个未知元大于零即可。 $n$ 元一次的不定方程可以化为 $n-1$ 个二元一次不定方程求解,其自由因子有 $n-1$ 个。求解的相关方法参看上一节。
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