Pythagoras 方程

日期: 2023-10-24 14:13 查看: 28 次更新导出Word

Pythagoras 方程 (毕达哥拉斯方程) 也被称为商高方程，是数论上的一个著名方程。

## 内容

如下二次齐次不等方程

$$
x^2+y^2=z^2
$$

的解 $(x, y, z) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的求解问题，就是解一个商高方程的问题。
当 $x y z=0$ 时方程有平凡解 $(0, \pm a, \pm a),( \pm a, 0, \pm a)$ ，满足 $x y z \neq 0$ 的解称为非平凡解，我们的目的是找到非平凡解。

实际上，如果 $(a, b, c)$ 是一组解，那么 $( \pm k a, \pm k b, \pm k c), k \in \mathbb{Z}$ 也是一组解，假设 $d=\operatorname{gcd}(a, b, c)$ ，那么 $(a / d, b / d, c / d)$ 也是解。为了表示出解的唯一性，我们可以要求

$$
a, b, c>0, \operatorname{gcd}(a, b, c)=1 .
$$

满足上述条件的解 $(a, b, c)$ 称为是本原解，显然它满足 $2 \nmid x+y$.

## 解

可以证明，这个方程的本原解为

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ x = r ^ { 2 } - s ^ { 2 } , } \\
{ y = 2 s r , } \\
{ z = r ^ { 2 } + s ^ { 2 } , }
\end{array} \quad \text { or } \quad \left\{\begin{array}{l}
x=2 s r \\
y=r^2-s^2 \\
z=r^2+s^2
\end{array}\right.\right.
$$

其中，

$$
r>s>0, \operatorname{gcd}(r, s)=1,2 \nmid r+s .
$$

进而方程的全部解为

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ x = \pm k ( r ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) , } \\
{ y = \pm k ( 2 s r ) , } \\
{ z = \pm k ( r ^ { 2 } + s ^ { 2 } ) , }
\end{array} \quad \text { or } \quad \left\{\begin{array}{l}
x= \pm k 2 s r \\
y= \pm k\left(r^2-s^2\right), \quad k \in \mathbb{Z}^{+} \\
z= \pm k\left(r^2+s^2\right),
\end{array}\right.\right.

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