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解析几何
椭圆
椭圆的第2种定义
椭圆的第2种定义
日期:
2023-11-14 08:41
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椭圆定义：动点到定点的距离与到定直线的距离之比为一个共同常数，这个动点形成的轨迹为椭圆。这条定直线就称为椭圆的准线。 如下图，两条平行于短轴的直线，距离为 $d=\frac{a^2}{c}=\frac{a}{e}$ 的 $l_2$和$l_1$分别被称作椭圆的左右准线。 其方程为 $l_1=\frac{a}{e}$ 和 $l_2=-\frac{a}{e}$  下面给出简单的证明： 对这个结果的证明源于这样一个事实 $\left|P F_1\right|^2=(x-c)^2+y^2$ $\left|P l_1\right|^2=\left(x-\frac{a^2}{c}\right)^2$ $y^2=b^2-\frac{b^2}{a^2} x^2$ 整理上面三个式子可得到： $\left|P F_1\right|^2-\frac{c^2}{a^2}\left|P l_1\right|^2=0 $ 化简记得$P$的轨迹集合为： ## 离心率的意义 延伸到 $e=0$ ，即圆的偏心率，在欧几里得平面中的这种情况下是不允许的。然而，人们可以认为圆的准线是圆的顶点无限远处的线在椭圆里射影平面. (选择 $e=1$ 产生一条抛物线，如果 $e>1$ ，一条双曲线。)  通过离心率可以统一圆锥曲线的定义。 
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