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指数对数与幂函数
对数的运算法则
日期:
2023-11-05 17:56
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对数的运算法则
如果 $a>0, a \neq 1, M>0, N>0$, 有 $ ① \log _a(M N)=\log _a M+\log _a N $ $ ② \log _a \frac{M}{N}=\log _a M-\log _a N $ $ ③ \log _a M^n=n \log _a M(n \in R) $ $ ④ a^{\log _a M}=M$ 在第四个推论里，后续在《高等数学》里会经常使用，如果$a=e$，就可以得到 $e^{lnM}=M$ 这是一个常用的技巧 下面给出简单的证明。 求证：$\log _a(M N)=\log _a M+\log _a N$. 证明： 设 $a^\alpha=M>0, a^\beta=N>0$, 则 $\log _a M=\alpha, \log _a N=\beta$.由 $a^{\alpha+\beta}=a^\alpha a^\beta=M N$ 可知 $\log _a(M N)=\alpha+\beta$, 代人 $\alpha$ 与 $\beta$ 的值, 有 $\log _a(M N)=\log _a M+\log _a N$. 证毕
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