换底公式

**换底公式**

$$
\log _a b=\frac{\log _c b}{\log _c a}(a>0, a \neq 1, c>0, c \neq 1, b>0)
$$

**证明：**

若有对数 $\log _a b=x$ ，则 $a^x=b$ ，且

$$
a=\sqrt[x]{b} .
$$

于是

$$
c^{\log _c a}=\sqrt[x]{b}, c^{x \log _c a}=b .
$$

两边取以c为底的对数得 $x \log _c a=\log _c b ， x=\frac{\log _c b}{\log _c a}$ ，即 $\log _a b=\frac{\log _c b}{\log _c a}$ 。
证毕。

**例2** 求证：

$$
\log _{a^t} b^s=\frac{s}{t} \log _a b,
$$

其中 $a>0$ 且 $a \neq 1, b>0, s \in \mathbf{R}, t \in \mathbf{R}$ 且 $t \neq 0$.

证明

$\log _{a^t} b^s=\frac{\ln b^s}{\ln a^t}=\frac{s \ln b}{t \ln a}=\frac{s}{t} \times \frac{\ln b}{\ln a}=\frac{s}{t} \log _a b$.

## 推广

根据换底公式，可以推出如下结论

$ \log _a b=\frac{1}{\log _b a}  $

$ \log _a b \cdot \log _b c=\log _a c $

$  {a^m} b^n=\frac{n}{m} \log _a b $

$   a^{\log _a M}=M$

在上面这个推论里，后续在《高等数学》里会经常使用，如果$a=e$，就可以得到

$e^{lnM}=M$， 所以，$M$ 写成 $e^{lnM}$ 这在求导/积分里是一个常用的技巧

## 应用

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有自然对数和常用对数的按钮，但却没有 $[\log 2]$ 的。要计算 $\log _2 3$ ，你只有计算 $\frac{\lg 3}{\lg 2}$ (或 $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ ，两者结果一样）

在高等数学中有一种求导方法叫对数求导法，其原理就是指数函数的换底，把底为普通常数或变量的指数函数或幂指函数统 统都变形为以e为底的复合函数形式。

$$
a^x=e^{x \ln a}, a^{f(x)}=e^{f(x) \ln a},[f(x)]^{g(x)}=e^{g(x) \ln f(x)} .
$$

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