最后更新: 2023-11-09 18:35 查看: 215 次反馈刷题

算术基本定理

**算术基本定理**

我们已经知道, 任何大于 1 的整数总可以表示成一些素因数的乘积. 例如, $12=2 \times$ $2 \times 3,60=2 \times 2 \times 3 \times 5$. 一般地, 我们有下面的定理.

任何大于 1 的整数总可以分解成素因数乘积的形式, 并且, 如果不计分解式中素因数的次序, 这种分解式是惟一的.

这就是算术基本定理, 定理中的分解式叫做素因数分解式. 它是欧几里得在公元前 3 世纪建立的, 是整个初等数论的基础. 下面给出它的证明.

证明：对大于 1 的整数 $n$, 其素因数分解式的存在性前面已经指出. 余下只需证明素因数分解式的惟一性.
假定 $n$ 有如下两个素因数分解式:

$$
n=p_1 p_2 \cdots p_r=q_1 q_2 \cdots q_s,
$$

其中 $p_1, p_2, \cdots, p_r$ 与 $q_1, q_2, \cdots, q_s$ 都是 $n$ 的素因数.
由于 $p_1$ 为素数, 且 $p_1 \mid q_1 q_2 \cdots q_s$, 故 $p_1$ 整除 $q_1, q_2, \cdots, q_s$ 中的某个 $q_i$. 当不计素因数的次序时, 总可假定 $p_1 \mid q_1$, 而 $p_1, q_1$ 均为素数, 故 $p_1=q_1$. 于是, $p_2 \cdots p_r=q_2 \cdots$ $q_s$. 再由 $p_2$ 为素数, 且 $p_2 \mid q_2 \cdots q_s$ 知, $p_2$ 整除 $q_2, \cdots, q_s$ 中的某个 $q_j$. 若不计素因数的次序, 可假定 $p_2 \mid q_2$, 而 $p_2, q_2$ 均为素数, 同样有 $p_2=q_2$. 如此进行下去, 最后得 $r=s$,并且 $p_i=q_i, i=1,2, \cdots, r$.
所以 $n$ 的素因数分解式是惟一的.
在实际应用中, 我们常常将素因数分解式中相同的几个素因数的乘积写成幂的形式.
例如, $12=2^2 \times 3,60=2^2 \times 3 \times 5$.
需要说明的是, 素因数分解式只是一个理论结果, 实际得到一个大于 1 的正整数的素因数分解式是很不容易的.

算术基本定理描述的是大于 1 的整数的素因数的分解情况, 定理中的素因数分解式有非常重要的应用. 我们看一个具体的例子.

例 5 分别将 720,152 进行素因数分解. 由素因数分解式, 你能求出 $(720,152)$ 以及 $[720,152]$ 吗?
解：容易知道, 720 的素因数只有 2,3 , 5 , 且

$$
720=2^4 \times 3^2 \times 5 ;
$$

152 的素因数只有 2,19 , 且

$$
152=2^3 \times 19
$$

由此, 我们不难得到

$$
\begin{aligned}
& (720,152)=2^3=8, \\
& {[720,152]=2^4 \times 3^2 \times 5 \times 19=13680 .}
\end{aligned}
$$

由例 5 不难看出, 由两个大于 1 的整数的素因数分解式, 可以求得这两个整数的最大公因数和最小公倍数.

一般地, 对给定的两个大于 1 的整数 $a, b$, 找出它们所有的互异素因数, 然后将 $a, b$表示成这些素因数的幂的乘积, 如果其中一个素因数在 $a$ 或 $b$ 中不出现, 就将这个素因数的幂指数写作 0 , 那么 $(a, b)$ 可以表示成这些素因数的幂的乘积, 每个素因数的幂指数为其在 $a$ 与 $b$ 中的幂指数的最小者, 而 $[a, b]$ 也可以表示成这些素因数幂的乘积, 每个素因数的常指数为其在 $a$ 与 $b$ 的幂指数的最大者.

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