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数与等式
有理数
日期:
2024-04-20 20:36
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有理数
## 引言 “有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”。事实上,这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来,在英语中有理数的英文是rational number,而rational常规的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”。但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思。所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”。与之相对,“无理数”英文是irrational number (ir-在英文的词根里是取反的意思),就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理。 理解上面的历史缘由很重要,这样你就能明白为什么无理数是作为有理数的反面而提出的。 最开始,大家都觉得全世界的所有数都可以写成两个整数的比。但是有个叫西帕索斯的证明了根号2不可能是两个整数的比。而他的证明可以推广到很多数上。那么人们就想着,我们区分一下两种数吧。第一种数可以写成两个整数的比,看起来很合理,就叫有理数吧。这种没法写成两个整数比的数,虽然确实存在,但是看起来很不合理,我们就管它们叫无理数吧。因此,数学上先是把可以表为整数之比的数定义为有理数,然后又发现并非所有数都可以这样地表为整数之比,就把他称呼为无理数。 因此,问「无理数为什么不能写作两个整数之比」就跟问「负数为什么小于零」一样毫无意义。 **正数和负数** 1.大于0都数是正数。 2.小于0的数是负数。负数也可以定义为在正数前面加上符号“-”(负)的数叫做负数. 3.用正、负数表示具有相反意义的量 **数0的认识** (1) 0既不是正数也不是负数。 (2) 0是正数和负数的分界点。0没有倒数,0乘任何数都等于0。0不能作为分母或者除数。 (3) 0不仅可以表示没有,还可以表示一个基准。例如温度为0度是指冰水混合物的温度,还不0米表示以海平面为基准。 (4) 0是最小的自然数,0是整数也是偶数。 ## 有理数 整数和分数统称有理数 #### 整数 整数是正整数、零、负整数的集合。整数的全体构成整数集,整数集是一个数环。 在整数系中,零和正整数统称为**自然数**。-1、-2、-3、…、-n、…(n为非零自然数)为负整数。 正整数、零与负整数构成整数系。 分数是一个整数a和一个正整数b的不等于整数的比。 分数的三种类型:真分数,假分数,带分数。 **真分数**的值小于1。分子比分母小,**假分数**的值大于1,或者等于1。分子比分母大或相等,带分数的值大于1,后面的分数部分必须是真分数。 **有理数的分类** ![图片](/uploads/2022-12/image_20221228135c2e8.png) ## 有理数考点 #### 例1 计算 $\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{3 \times 5}+\frac{1}{5 \times 7}+\frac{1}{7 \times 9}+\cdots+\frac{1}{37 \times 39}$ 的结果是 解析:本题是一个规律计算虑, 主要考查了有理数的混合运算, 关键是把分数乘法转化成分数减法来计算. 把每个分数写成两个分数之差的一半, 然后再进行简便运算. $$ \begin{aligned} & \text { 原式 }=\frac{1}{2} \times\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\cdots \frac{1}{37} \frac{1}{39}\right) \\ & =\frac{1}{2} \times\left(1-\frac{1}{39}\right) \\ & =\frac{19}{39} . \end{aligned} $$ #### 例2 已知: $(a-2)^2+|2 b-1|=0$, 则 $a^{2021} \cdot b^{2022}$ 的值为? 【分析】根据偶次方的非负性以及绝对值的非负性求得 $a$ 与 $b$, 再代入 $a^{2021} b^{2022}$ 求值. 【解答】解: $\because(a-2)^2 \geqslant 0,|2 b-1| \geqslant 0$, $\therefore$ 当 $(a-2)^2+|2 b-1|=0$, 则 $a-2=0,2 b-1=0$. $\therefore a=2, b=\frac{1}{2}$. $\therefore a^{2021} \cdot b^{2022}=2^{2021} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2022}=\frac{1}{2}$. 故答案为: $\frac{1}{2}$. #### 例3 已知:$|a-b|=1,|a-c|=3$,求$|b-c|$ 的值为 【分析】这是绝对值的问题,对于这个问题,我们给出2个方法。 【解答】 解法1:观察题目因为结果与a无关,而a可以取任何值,所以 我们取$a=0$,带入,可以得到 $|-b|=1$ ,$|-c|=2$ , 所以 $b$为$\pm 1$ , $c$ 为 $\pm 3$ 此时有四种情况 ①$b=1,c=3$ ,则 $|b-c|=2$ ②$b=-1,c=3$ ,则 $|b-c|=4$ ③$b=1,c=-3$ ,则 $|b-c|=4$ ④$b=1,c=3$ ,则 $|b-c|=2$ 因此$|b-c|$ 为 $2$或$4$ 解法2:利用绝对值的定义,仔细观察上面式子,并结合绝对值的顶用 $|a-b|=1$ 表示数组上两个点,$a,b$ 的距离为1, 同样 $|a-c|=3$ 表示数组上两个点,$a,c$ 的距离为3, 画出图形是 ![图片](/uploads/2024-04/467d80.jpg) 而题目所求的 $b,c$点的距离,可以容易算出为 2或者4 #### 例4 已知 $2^m=3$,$3^n=2$,求 $\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}=$ 解析:对于这类题目,通常解法是: 因为 $2^m=3$ 两边同时做$n$次方,则有 $(2^m)^n=3^n$ 又因为 $3^n=2$ 所以$(2^m)^n=2=2^1$, 即$mn=1$ 对于所求的 $\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}=$ ,在初中阶段,基本上都是进行通分处理 即 $\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}$ $= \frac{m+n+2}{mn+m+n+1}$ 而刚刚我们求出$mn=1$, 带入可以得到 $=\frac{m+n+2}{1+m+n+1}=1$ > 注意:幂运算是初中有理数难中之难的内容,但是考虑初中知识的局限性,这类题目通常会取特殊值进行计算,而不会涉及高中使用对数进行计算。
子目录
1. 科学记数法
2. 绝对值
3. 实数与比较大小
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