虚数（高中）

日期: 2023-11-13 10:49 查看: 30 次更新导出Word

虚数是指可以写作实数与虚数单位 $i$ 乘积的复数，并定义其性质为 $i^2=-1$ ，以此定义，0可视为同时是实数也是虚数。

虚数的英文是imaginary number，其意思是虚构的意思。

## 虚数不能比较大小

不同的虚数都是不能比较大小的:
$1<2$ 成立，但 $1+i<2+i$ 和 $i<2 i$ 却均不成立。

举例说明: (反证法)
假设 $i>0$
平方得 $i^2>0$
得 $-1>0$ 即可看出矛盾。
再举例: 假设 $i<0$
平方得 $i^2>0$ (不等式两侧同乘假设为负的 $i$ ，不等式由小于变为大于)
得 $-1>0$ 即可看出矛盾。
因此虚数或者说虚部不为 0 的复数不能比较大小。

##i的周期

因为 $i^0=1 ， i^1=i ， i^2=-1 ， i^3=-i ， i^4=1 ， \cdots$ ，很容易知道 $i^n$ 是关于指数 $n$ 的周期函数，最小正周期是 4 。于是，我们有

$$
i^1+i^2+i^3+i^4=0
$$

这表示 $i$ 为方程 $x+x^2+x^3+x^4=0$ 的一个根，另三个根分别为 $-i,-1$ 及 0 。

另外可以证明

$$
\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i
$$

和

$$
\bar{\omega}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i
$$

为下列方程的根

$$
\begin{aligned}
& x^2+x+1=0 \\
& x^3=1
\end{aligned}
$$

其中， $\bar{\omega}$ 称为 $\omega$ 的共轭虚数 (或共轭复数)。

## 几何意义

在几何学上，复数平面的垂直轴表示虚数，它们与代表实数的水平轴垂直。

在该呈现图示中，乘以一对应于以原点为中心 180 度的旋转。 $i$ 的乘法对应于“逆时针" 方向的 90 度旋转，而方程式 $i^2=-1$ 可被解释为，如果我们对原点应用两个 90 度旋转，则终了结果是单一个 180 度旋转。注意，“顺时针" 方向的 90 度旋转也满足这种解释。这反映了 $-i$ 也解出了方程 $x^2=-1$ 。一般来说，乘以复数与以复数辐角围绕原点的旋转相同，然后按其大小进行缩放。

下图显示，一个数乘以$i$相当于逆时针旋转了90度

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