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复变函数论 Complex Analysis
第一篇复数与复变函数
棣莫弗(De Moivre)公式
棣莫弗(De Moivre)公式
日期:
2023-11-18 09:24
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**棣莫弗(De Moivre)公式** 由 $z^n=\left(r \mathrm{e}^{i \theta}\right)^n=r^n \mathrm{e}^{i n \theta}$ 以及复数的三角表示式可得 $$ z^n=[r(\cos \theta+i \sin \theta)]^n=r^n(\cos n \theta+i \sin n \theta) . $$ 在上式中令 $r=1$, 则得到棣莫弗(De Moivre)公式: $$ (\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos n \theta+i \sin n \theta . $$ ○进一步易得到正弦与余弦函数的 $n$ 倍角公式。 $$ \text { 比如 } \begin{aligned} \cos 3 \theta & =\cos ^3 \theta-3 \cos \theta \sin ^2 \theta, \\ \sin 3 \theta & =3 \cos ^2 \theta \sin \theta-\sin ^3 \theta . \end{aligned} $$ **例** $$ \begin{aligned} &\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^2=\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{3} i}\right)^2=\mathrm{e}^{\frac{2 \pi}{3} i} . \\ &\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^3=\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{3} i}\right)^3=\mathrm{e}^{\pi i}=-1 . \\ &\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^3=\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi}{3} i}\right)^3=\mathrm{e}^{-\pi i}=-1 . \end{aligned} $$ 此外, 显然有 $(-1)^3=-1$. 由此引出方根的概念。
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