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复变函数论
第一篇复数与复变函数
复数的方根
日期:
2023-11-18 09:31
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复数的方根
**复数的方根** **复数求方根是复数乘幂的逆运算。** 定义 设 $z$ 是给定的复数, $n$ 是正整数, 求所有满足 $w^n=z$ 的复数 $w$, 称为把复数 $z$ 开 $n$ 次方, 或者称为求复数 $z$ 的 $\underline{n}$ 次方根, 记作 $w=\sqrt[n]{z}$ 或 $w=z^{1 / n}$. -复数 $z$ 的 $n$ 次方根一般是多值的。 - 利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。 推导 设 $z=r \mathrm{e}^{i \theta}, w=\rho \mathrm{e}^{i \varphi}$, 由 $w^n=z$ 有 $\rho^n \mathrm{e}^{i n \varphi}=r \mathrm{e}^{i \theta}$, 即 $\rho^n(\cos n \varphi+i \sin n \varphi)=r(\cos \theta+i \sin \theta)$, 得 $\rho^n=r, \Rightarrow \rho=\sqrt[n]{r}$; — 正实数的算术根。 $$ n \varphi=\theta+2 k \pi, \Rightarrow \varphi_k=\frac{\theta}{n}+k \frac{2 \pi}{n},(k=0,1, \cdots, n-1) . $$ 法则 设 $z=r \mathrm{e}^{i \theta}$, 则 $\boldsymbol{w}_k=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r} \mathrm{e}^{i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2 k \pi}{n}\right)},(k=0,1, \cdots, n-1)$. 2. 复数的方根 $$ \boldsymbol{w}_k=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r} \mathrm{e}^{i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2 k \pi}{n}\right)},(k=0,1, \cdots, n-1) . $$ 描述 在复平面上, 这 $\boldsymbol{n}$ 个根均匀地分布在一个以原点为中心、以 $\sqrt[n]{\boldsymbol{r}}$ 为半径的圆周上。其中一个根的辐角是 $(\theta / n)$. ![图片](/uploads/2023-11/image_20231118432007f.png) 方法 。直接利用公式求根; ○ 先找到一个特定的根,再确定出其余的根。 例 求 $\sqrt[3]{-8}$. 解 $\sqrt[3]{-8}=2 \mathrm{e}^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{2 k \pi}{3}\right)},(k=0,1,2)$.具体为: $-2,2 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{3} i}, 2 \mathrm{e}^{-\frac{\pi}{3} i}$. ![图片](/uploads/2023-11/image_20231118f12772f.png) 例 求解方程 $z^3-1=0$.解 $z=\sqrt[3]{1}=1 \cdot \mathrm{e}^{i\left(\frac{0}{3}+\frac{2 k \pi}{3}\right)},(k=0,1,2)$.具体为: $1, \mathrm{e}^{\frac{2 \pi}{3} i}, 2 \mathrm{e}^{-\frac{2 \pi}{3} i}$. ![图片](/uploads/2023-11/image_20231118f74251a.png) **几个关系** (1) $|\operatorname{Re} z| \leq|z|, \quad|\operatorname{Im} z| \leq|z|$. ![图片](/uploads/2023-11/image_202311187bc0951.png) (2) ||$z_1|-| z_2|| \leq\left|z_1 \pm z_2\right| \leq\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$. ![图片](/uploads/2023-11/image_20231118e895265.png) (3) $|z|=|\bar{z}|$; $\arg z=-\arg \bar{z},(\arg z \neq \pi) ; $ $ |z|^2=z \cdot \bar{z} .$ ![图片](/uploads/2023-11/image_202311189253566.png) **例** 证明 $\left|z_1+z_2\right| \leq\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$. $$ \text { 证 } \begin{aligned} \left|z_1+z_2\right|^2 & =\left(z_1+z_2\right)\left(\overline{z_1+z_2}\right)=\left(z_1+z_2\right)\left(\bar{z}_1+\bar{z}_2\right) \\ & =\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2+z_1 \bar{z}_2+\bar{z}_1 z_2 \\ & =\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2+2 \operatorname{Re}\left(z_1 \bar{z}_2\right) \\ & \leq\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2+2\left|\operatorname{Re}\left(z_1 \bar{z}_2\right)\right| \\ & \leq\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2+2\left|z_1\right| \cdot\left|z_2\right|=\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)^2 . \end{aligned} $$ 利用复数与向量的关系,可以证明一些几何问题 比如,上例证明的结论可描述为: 三角形的两边之和大于等于第三边。 ![图片](/uploads/2023-11/image_2023111878b65f8.png)
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