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第一篇复数与复变函数
历史知识-欧拉公式
日期:
2023-11-18 09:33
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历史知识-欧拉公式
$ 1748$ 年, 欧拉给出了著名的公式 $\mathrm{e}^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$. 令 $\theta=\pi$ 有 $\mathrm{e}^{i \pi}+1=0$. 克莱茵认为这是数学中最卓越的公式之一, 它把五个最重要的数 $1,0, i, \pi, \mathrm{e}$ 联系起来。 $$ \begin{aligned} & \text { - } \mathrm{e}^{i(\alpha+\beta)}=\cos (\alpha+\beta)+i \sin (\alpha+\beta) \text {, } \\ & \mathrm{e}^{i \alpha} \cdot \mathrm{e}^{i \beta}=(\cos \alpha+i \sin \alpha)(\cos \beta+i \sin \beta) \\ & =(\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta)+i(\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta), \\ & \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \end{array}\right. \\ & \end{aligned} $$ 附: 关于 $\operatorname{Arg}\left(z_1 \cdot z_2\right)=\operatorname{Arg} z_1+\operatorname{Arg} z_2$ (在集合意义下) ○所谓 “在集合意义下” 是指: 分别从集合 $\operatorname{Arg} z_1$ 中与集合 $\operatorname{Arg} z_2$ 中任取一个元素 (即辐角), 相加后, 得到集合 $\operatorname{Arg}\left(z_1 \cdot z_2\right)$ 中的一个元素 (即辐角)。 比如 设 $w=z \cdot z$, 则 $|w|=|z| \cdot|z|=|z|^2$, $\operatorname{Arg} w=\operatorname{Arg}(z \cdot z)=\operatorname{Arg} z+\operatorname{Arg} z \neq 2 \operatorname{Arg} z$. 事实上, $\operatorname{Arg} z+\operatorname{Arg} z=\left(\arg z+2 k_1 \pi\right)+\left(\arg z+2 k_2 \pi\right)$ $=2 \arg z+2\left(k_1+k_2\right) \pi=2 \arg z+2 k \pi ;$ $2 \operatorname{Arg} z=2(\arg z+2 k \pi)=2 \arg z+4 k \pi$.
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