零点

日期: 2023-11-18 13:33 查看: 9 次更新导出Word

**一、引言‸**

- 本章重点解决闭路积分问题。如图, 考虑积分 $\oint_{\Gamma} f(z) \mathrm{d} z$.
  (1) 若 $f(z)$ 在 $\Gamma$ 上连续, 在 $D$ 上解析, 则 $\oint_{\Gamma} f(z) \mathrm{d} z=0$.
  (2) 若 $f(z)$ 在 $D$ 上有唯一的奇点 $z_0$, 则 $\oint_{\Gamma} f(z) \mathrm{d} z=\oint_C f(z) \mathrm{d} z$.此时, 将函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点的邻域内进行洛朗展开,

$$
f(z)=\cdots+\frac{a_{-2}}{\left(z-z_0\right)^2}+\frac{a_{-1}}{z-z_0}+a_0+a_1\left(z-z_0\right)+a_2\left(z-z_0\right)^2 \cdots,
$$

由 $\oint_C \frac{\mathrm{d} z}{\left(z-z_0\right)^n}=\left\{\begin{array}{cc}2 \pi i, & n=1, \\ 0, & n \neq 1,\end{array}\right.$
则积分 $\oint_{\Gamma} f(z) \mathrm{d} z$ “不难? ” 得到。 ![图片](/uploads/2023-11/image_2023111867f2912.png)

**二、零点**

- 所谓函数 $f(z)$ 的零点就是方程 $f(z)=0$ 的根。

定义 设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析,

(1) 若 $f\left(z_0\right)=0$, 则称 $z=z_0$ 为 $f(z)$ 的零点;
(2) 若 $f(z)=\left(z-z_0\right)^m \varphi(z), \varphi(z)$ 在 $z_0$ 处解析且 $\varphi\left(z_0\right) \neq 0$,
则称 $z=z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 阶零点。

结论 对于不恒为零的解析函数, 其零点是孤立的。

即在零点的一个小邻域内, 函数无其它零点。

- 充要条件 (如何判断零点的阶数? )

定理 设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析, 则下列条件是等价的:
(1) $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 阶零点。
(2) $f^{(k)}\left(z_0\right)=0, k=0,1,2, \cdots, m-1 ; f^{(m)}\left(z_0\right) \neq 0$.
(3) $f(z)$ 在 $\left|z-z_0\right|<\delta$ 内的泰勒展开式为

$$
f(z)=a_m\left(z-z_0\right)^m+a_{m+1}\left(z-z_0\right)^{m+1}+\cdots,
$$

其中, $a_m \neq 0$.
![图片](/uploads/2023-11/image_20231118a473fca.png)

例 $f(z)=z^3-1$.

$$
f(z)=(z-1)\left(z^2+z+1\right),
$$

故 $z=1$ 为 $f(z)$ 的一阶零点。

例 $f(z)=\frac{(2 z+3)^3}{1+\mathrm{e}^z}$.

$$
f(z)=\left[z-\left(-\frac{3}{2}\right)\right]^3 \frac{8}{1+\mathrm{e}^z} .
$$

故 $z=-\frac{3}{2}$ 为 $f(z)$ 的三阶零点。

例 $f(z)=z-\sin z$.
方法一

$$
\begin{aligned}
& f(0)=0, \quad f^{\prime}(0)=1-\left.\cos z\right|_{z=0}=0, \\
& f^{\prime \prime}(0)=\left.\sin z\right|_{z=0}=0, \quad f^{\prime \prime \prime}(0)=\left.\cos z\right|_{z=0}=1 \neq 0, \\
& z=0 \text { 是 } f(z) \text { 的三阶零点。 }
\end{aligned}
$$

$$
\text { 方法二 } \begin{aligned}
f(z) & =z-\left(z-\frac{1}{3 !} z^3+\frac{1}{5 !} z^5-\cdots\right) \\
& =z^3\left(\frac{1}{3 !}-\frac{1}{5 !} z^2+\cdots\right)
\end{aligned}
$$

$z=0$ 是 $f(z)$ 的三阶零点。
例 $f(z)=1-\cos z$.

$$
f(z)=1-\left(1-\frac{1}{2 !} z^2+\frac{1}{4 !} z^4-\cdots\right)=z^2\left(1-\frac{1}{4 !} z^2+\cdots\right)
$$

$z=0$ 是 $f(z)$ 的二阶零点。

例 $f(z)=\mathrm{e}^z-z-1$.

$$
\begin{aligned}
f(z) & =\left(1+z+\frac{1}{2 !} z^2+\frac{1}{3 !} z^3+\cdots\right)-z-1 \\
& =z^2\left(\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !} z+\frac{1}{4 !} z^2 \cdots\right)
\end{aligned}
$$

$z=0$ 是 $f(z)$ 的二阶零点。

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