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复变函数论
第七篇 留数及其应用
函数在无穷远点的留数
日期:
2023-11-18 13:49
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函数在无穷远点的留数
  例 设 $f(z)=\frac{1}{\sin z}$, 问 $z=\infty$ 是否为 $f(z)$ 的孤立奇点? 解 令 $z=\frac{1}{\xi}$, 则 $f(z)=f\left(\frac{1}{\xi}\right)=\frac{1}{\sin \frac{1}{\xi}} \stackrel{\text { 记为 }}{=} \varphi(\xi)$,可知 $\xi=0, \xi_k=\frac{1}{k \pi}, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$ 均为 $\varphi(\xi)$ 的奇点,由于 $\xi=0$ 不是 $\varphi(\xi)$ 的孤立奇点,因此 $z=\infty$ 不是 $f(z)$ 的孤立奇点。 例 设 $f(z)=\frac{z}{1+z^2}$, 试判断奇点 $z=\infty$ 的类型。 解 令 $z=\frac{1}{\xi}$, 则 $f(z)=f\left(\frac{1}{\xi}\right)=\frac{1}{\xi} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{\xi^2}}$ $$ =\frac{\xi^2}{\xi\left(1+\xi^2\right)} \stackrel{\text { 记为 }}{=} \varphi(\xi), $$ 由于 $\xi=0$ 是 $\varphi(\xi)$ 的可去奇点, 因此 $z=\infty$ 是 $f(z)$ 的可去奇点。   定理 设 $f(z)$ 在扩充平面上除有限个孤立奇点 $z_1, z_2, \cdots, z_n, \infty$外处处解析, 则 $\sum_{k=1}^n \operatorname{Res}\left[f(z), z_k\right]+\operatorname{Res}[f(z), \infty]=0$. 证明 如图, 令 $\rho$ 充分大, 即 $\rho>\max _k\left|z_k\right|$, 则 $$ \begin{aligned} \operatorname{Res}[f(z), \infty] & =\frac{1}{2 \pi i} \oint_{C^{-}} f(z) \mathrm{d} z=-\frac{1}{2 \pi i} \oint_C f(z) \mathrm{d} z \\ & =-\sum_{k=1}^n \operatorname{Res}\left[f(z), z_k\right], \text { 即证。 } \end{aligned} $$ 
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