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复变函数论
第七篇 留数及其应用
留数定理
日期:
2023-11-18 13:46
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留数定理
  例 计算 $I=\oint_C \frac{1}{z^{101}\left(1-z^2\right)} \mathrm{d} z$, 其中 $C$ 为 $|z|=0.5$. 解 令 $f(z)=\frac{1}{z^{101}\left(1-z^2\right)}, z=0$ 为 $f(z)$ 的 101 阶极点。 将 $f(z)$ 在 $0<|z|<1$ 内展开为洛朗级数: $$ \begin{aligned} & f(z)=\frac{1}{z^{101}} \sum_{n=0}^{+\infty} z^{2 n}=\frac{1}{z^{101}}+\frac{1}{z^{99}}+\cdots+\frac{1}{z}+z+z^2+\cdots \\ & \Rightarrow \quad \operatorname{Res}[f(z), 0]=1 \\ & \Rightarrow \quad I=2 \pi i \operatorname{Res}[f(z), 0]=2 \pi i \end{aligned} $$ 例 计算 $I=\int_C \frac{\mathrm{e}^z-\mathbf{1}}{z^3} \mathrm{~d} z$, 其中 $C$ 为 $|z|=1$. 解 利用洛朗展式求解 将被积函数 $f(z)$ 在 $z=0$ 的去心邻域展开, $$ \begin{aligned} & f(z)=\frac{1}{z^3} \cdot\left[\left(1+\frac{1}{2 !} z^2+\frac{1}{3 !} z^3+\frac{1}{4 !} z^4+\cdots\right)-1\right] \\ & \quad=\frac{1}{2 !} \cdot \frac{1}{z}+\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !} z+\cdots \\ & \Rightarrow \quad \operatorname{Res}[f(z), 0]=\frac{1}{2 !}=\frac{1}{2} . \\ & \Rightarrow \quad I=2 \pi i \operatorname{Res}[f(z), 0]=\pi i . \end{aligned} $$
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