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复变函数论
第七篇 留数及其应用
留数的计算
最后更新:
2023-11-18 13:44
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留数的计算
例 求下列函数在奇点处的留数。 (1) $f_1(z)=\frac{1-\cos z}{z^2}$, (2) $f_2(z)=\frac{1}{z(z-1)}$. 解 (1) $z=0$ 是 $f_1(z)$ 的可去奇 点, $$ \operatorname{Res}\left[f_1(z), 0\right]=0 \text {. } $$ (2) $z=0$ 和 $z=1$ 均为 $f_2(z)$ 的一阶极点, $$ \begin{aligned} & \operatorname{Res}\left[f_2(z), 0\right]=\lim _{z \rightarrow 0}\left[z f_1(z)\right]=\lim _{z \rightarrow 0} \frac{1}{z-1}=-1, \\ & \operatorname{Res}\left[f_2(z), 1\right]=\lim _{z \rightarrow 1}\left[(z-1) f_2(z)\right]=\lim _{z \rightarrow 1} \frac{1}{z}=1 \end{aligned} $$  例 求函数 $f(z)=z^2 \cos \frac{1}{z}$ 在奇点处的留数。 解 $z=0$ 是 $f(z)$ 的本性奇点, 将 $f(z)$ 在 $z=0$ 的去心邻域内洛朗展开, 有 $$ \begin{aligned} & \begin{aligned} f(z)=z^2 \cos \frac{1}{z} & =z^2 \cdot\left(1-\frac{1}{2 ! z^2}+\frac{1}{4 ! z^4}-\frac{1}{6 ! z^6}+\cdots\right) \\ & =z^2-\frac{1}{2 !}+\frac{1}{4 ! z^2}-\frac{1}{6 ! z^4}+\cdots, \end{aligned} \\ & \Rightarrow \operatorname{Res}[f(z), 0]=0 . \end{aligned} $$ 例 求函数 $f(z)=z^2 \cos \frac{1}{z-1}$ 在奇点处的留数。 解 $z=1$ 是 $f(z)$ 的本性奇点, 将 $f(z)$ 在 $z=0$ 的去心邻域内洛朗展开, 有 $$ \begin{aligned} f(z) & =z^2 \cos \frac{1}{z-1}=(z-1+1)^2 \cos \frac{1}{z-1} \\ & =\left[(z-1)^2+2(z-1)+1\right] \cdot\left(1-\frac{1}{2 !(z-1)^2}+\frac{1}{4 !(z-1)^4}-\cdots\right) \\ & =\cdots+\left(-2 \cdot \frac{1}{2 !}\right) \frac{1}{z-1}+\cdots, \\ \Rightarrow & \operatorname{Res}[f(z), 1]=-1 . \end{aligned} $$
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