留数的计算

日期: 2023-11-18 13:44 查看: 11 次更新导出Word

例 求下列函数在奇点处的留数。
(1) $f_1(z)=\frac{1-\cos z}{z^2}$,
(2) $f_2(z)=\frac{1}{z(z-1)}$.

解 (1) $z=0$ 是 $f_1(z)$ 的可去奇 点,

$$
\operatorname{Res}\left[f_1(z), 0\right]=0 \text {. }
$$

(2) $z=0$ 和 $z=1$ 均为 $f_2(z)$ 的一阶极点,

$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Res}\left[f_2(z), 0\right]=\lim _{z \rightarrow 0}\left[z f_1(z)\right]=\lim _{z \rightarrow 0} \frac{1}{z-1}=-1, \\
& \operatorname{Res}\left[f_2(z), 1\right]=\lim _{z \rightarrow 1}\left[(z-1) f_2(z)\right]=\lim _{z \rightarrow 1} \frac{1}{z}=1
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-11/image_20231118a620572.png)

例 求函数 $f(z)=z^2 \cos \frac{1}{z}$ 在奇点处的留数。
解 $z=0$ 是 $f(z)$ 的本性奇点,
将 $f(z)$ 在 $z=0$ 的去心邻域内洛朗展开, 有

$$
\begin{aligned}
& \begin{aligned}
f(z)=z^2 \cos \frac{1}{z} & =z^2 \cdot\left(1-\frac{1}{2 ! z^2}+\frac{1}{4 ! z^4}-\frac{1}{6 ! z^6}+\cdots\right) \\
& =z^2-\frac{1}{2 !}+\frac{1}{4 ! z^2}-\frac{1}{6 ! z^4}+\cdots,
\end{aligned} \\
& \Rightarrow \operatorname{Res}[f(z), 0]=0 .
\end{aligned}
$$

例 求函数 $f(z)=z^2 \cos \frac{1}{z-1}$ 在奇点处的留数。
解 $z=1$ 是 $f(z)$ 的本性奇点,
将 $f(z)$ 在 $z=0$ 的去心邻域内洛朗展开, 有

$$
\begin{aligned}
f(z) & =z^2 \cos \frac{1}{z-1}=(z-1+1)^2 \cos \frac{1}{z-1} \\
& =\left[(z-1)^2+2(z-1)+1\right] \cdot\left(1-\frac{1}{2 !(z-1)^2}+\frac{1}{4 !(z-1)^4}-\cdots\right) \\
& =\cdots+\left(-2 \cdot \frac{1}{2 !}\right) \frac{1}{z-1}+\cdots, \\
\Rightarrow & \operatorname{Res}[f(z), 1]=-1 .
\end{aligned}

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