最后更新: 2025-01-18 10:46 查看: 358 次反馈刷题

留数的计算举例

## 留数的计算举例
上一节介绍了[留数的计算的基本理论](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=890)
本节介绍一些例题。

`例` 求下列函数在奇点处的留数。
(1) $f_1(z)=\frac{1-\cos z}{z^2}$,
(2) $f_2(z)=\frac{1}{z(z-1)}$.

解 (1) $z=0$ 是 $f_1(z)$ 的可去奇 点,

$$
\operatorname{Res}\left[f_1(z), 0\right]=0 \text {. }
$$

(2) $z=0$ 和 $z=1$ 均为 $f_2(z)$ 的一阶极点,

$$
\begin{aligned}
& \operatorname{Res}\left[f_2(z), 0\right]=\lim _{z \rightarrow 0}\left[z f_1(z)\right]=\lim _{z \rightarrow 0} \frac{1}{z-1}=-1, \\
& \operatorname{Res}\left[f_2(z), 1\right]=\lim _{z \rightarrow 1}\left[(z-1) f_2(z)\right]=\lim _{z \rightarrow 1} \frac{1}{z}=1
\end{aligned}
$$

`例`求下列函数在奇点处的留数。
（1）$f_1(z)=\frac{\cos z}{4 z^3}$,
（2）$f_2(z)=\frac{\sin z}{4 z^3}$ ．
解（1）$z=0$ 是 $f_1(z)$ 的三阶极点，

$$
\operatorname{Res}\left[f_1(z), 0\right]=\frac{1}{2!} \lim _{z \rightarrow 0}\left(z^3 \cdot \frac{\cos z}{4 z^3}\right)^{\prime \prime}=-\left.\frac{\cos z}{8}\right|_{z=0}=-\frac{1}{8} .
$$

（2）$z=0$ 为 $f_2(z)$ 的二阶极点，

$$
\begin{aligned}
\operatorname{Res}\left[f_2(z), 0\right] & =\frac{1}{1!} \lim _{z \rightarrow 0}\left(z^2 \cdot \frac{\sin z}{4 z^3}\right)^{\prime}=\lim _{z \rightarrow 0}\left(\frac{\sin z}{4 z}\right)^{\prime} \\
& =\lim _{z \rightarrow 0} \frac{z \cos z-\sin z}{4 z^2}=\lim _{z \rightarrow 0} \frac{-\sin z}{8}=0 .
\end{aligned}
$$

`例`求函数 $f(z)=\frac{z^2}{z^4+1}$ 在奇点处的留数。

![图片](/uploads/2025-01/71a3b5.jpg)
 
 解 函数 $f(z)$ 有四个简单极点，

$$
z_1=e^{\frac{\pi}{4} i}, \quad z_2=e^{-\frac{\pi}{4} i}, \quad z_3=e^{\frac{3 \pi}{4} i}, \quad z_4=e^{-\frac{3 \pi}{4} i}
$$

$$
\begin{aligned}
&\operatorname{Res}\left[f(z), z_1\right]=\left.\frac{z^2}{\left(z^4+1\right)^{\prime}}\right|_{z=z_1}=\left.\frac{1}{4 z}\right|_{z=z_1}=\frac{1}{4} e^{-\frac{\pi}{4} i},\\
&\text { 同理 } \operatorname{Res}\left[f(z), z_2\right]=\left.\frac{1}{4 z}\right|_{z=z_2}=\frac{1}{4} e^{\frac{\pi}{4} i} \text {, }\\
&\operatorname{Res}\left[f(z), z_3\right]=\frac{1}{4} e^{-\frac{3 \pi}{4} i}, \quad \operatorname{Res}\left[f(z), z_4\right]=\frac{1}{4} e^{\frac{3 \pi}{4} i}
\end{aligned}
$$

`例` 求函数 $f(z)=z^2 \cos \frac{1}{z}$ 在奇点处的留数。
解 $z=0$ 是 $f(z)$ 的本性奇点,
将 $f(z)$ 在 $z=0$ 的去心邻域内洛朗展开, 有

$$
\begin{aligned}
& \begin{aligned}
f(z)=z^2 \cos \frac{1}{z} & =z^2 \cdot\left(1-\frac{1}{2 ! z^2}+\frac{1}{4 ! z^4}-\frac{1}{6 ! z^6}+\cdots\right) \\
& =z^2-\frac{1}{2 !}+\frac{1}{4 ! z^2}-\frac{1}{6 ! z^4}+\cdots,
\end{aligned} \\
& \Rightarrow \operatorname{Res}[f(z), 0]=0 .
\end{aligned}
$$

`例`求函数 $f(z)=z^2 \cos \frac{1}{z-1}$ 在奇点处的留数。
解 $z=1$ 是 $f(z)$ 的本性奇点,
将 $f(z)$ 在 $z=0$ 的去心邻域内洛朗展开, 有

$$
\begin{aligned}
f(z) & =z^2 \cos \frac{1}{z-1}=(z-1+1)^2 \cos \frac{1}{z-1} \\
& =\left[(z-1)^2+2(z-1)+1\right] \cdot\left(1-\frac{1}{2 !(z-1)^2}+\frac{1}{4 !(z-1)^4}-\cdots\right) \\
& =\cdots+\left(-2 \cdot \frac{1}{2 !}\right) \frac{1}{z-1}+\cdots, \\
\Rightarrow & \operatorname{Res}[f(z), 1]=-1 .
\end{aligned}

`例`求函数 $f(z)=\frac{1}{z(z-1)} e ^{\frac{1}{z}}$ 在奇点处的留数。
解（1）$z=1$ 是 $f(z)$ 的一阶极点， $\operatorname{Res}[f(z), 1]=\lim _{z \rightarrow 1} \frac{1}{z} e ^{\frac{1}{z}}= e$ ．
（2）$z=0$ 是 $f(z)$ 的本性奇点，

$$
\begin{aligned}
f(z) & =\frac{1}{z(z-1)} e^{\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1-z} e^{\frac{1}{z}} \\
& =-\frac{1}{z} \cdot\left(1+z+z^2+\cdots\right) \cdot\left(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\cdots\right) \\
& =\cdots-\frac{1}{z}\left(1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\right) \\
\Rightarrow & \operatorname{Res}[f(z), 0]=-\left(1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\right)=- e
\end{aligned}
$$

`例`求函数 $f(z)=\frac{z-\sin z}{z^6}$ 在 $z=0$ 点的留数。
解 方法一 利用洛朗展式求留数
将 $f(z)$ 在 $z=0$ 的去心邻域展开，得

$$
\begin{aligned}
& f(z)=\frac{1}{z^6} \cdot\left[z-\left(z-\frac{1}{3!} z^3+\frac{1}{5!} z^5-\frac{1}{7!} z^7+\cdots\right)\right] \\
&=\frac{1}{3!z^3}-\frac{1}{5!z}+\frac{1}{7!} z-\cdots \\
& \Rightarrow \quad \operatorname{Res}[f(z), 0]=-\frac{1}{5!}
\end{aligned}
$$

解 方法二 利用极点的留数计算法则求解
由于 $z=0$ 是 $f(z)$ 三阶极点，因此有

$$
\begin{aligned}
\operatorname{Res}[f(z), 0] & =\frac{1}{2!} \lim _{z \rightarrow 0}\left[z^3 f(z)\right]^{\prime \prime}=\frac{1}{2!} \lim _{z \rightarrow 0}\left(\frac{z-\sin z}{z^3}\right)^{\prime \prime} \\
& =\frac{1}{2!} \lim _{z \rightarrow 0} \frac{\left(z^2-12\right) \sin z+6 z \cos z+6 z}{z^5} \\
(\text { 罗比达法则 }) & =\frac{1}{2!} \lim _{z \rightarrow 0} \frac{z^2 \cos z+4 z \sin z-2 \cos z}{5!}=-\frac{1}{5!} .
\end{aligned}
$$

解 方法二 利用极点的留数计算法则求解

$$
\begin{aligned}
& \text { 若"不幸"将 f(z)=0 判断成了 } f(z) \text { 的六阶极点, } \\
& \operatorname{Res}[f(z), 0]=\frac{1}{(6-1)!} \lim _{z \rightarrow 1} \frac{d^5}{d^5 z}\left[z^6 f(z)\right] \\
& =\frac{1}{5!} \lim _{z \rightarrow 1} \frac{d^5}{d^5 z}(z-\sin z)=\frac{1}{5!} \lim _{z \rightarrow 1}(-\cos z)=-\frac{1}{5!} .
\end{aligned}
$$

注（1）此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。
（2）若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，而不一定非得使用下面即将介绍的留数定理。

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