最后更新: 2024-12-07 17:43 查看: 514 次反馈刷题

二次根式

## 二次根式
一般地, 形如 $\sqrt{a} (a \geq 0)$ 的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解:

①带有二次根号;
②被开方数是非负数, 即 $a \geq 0$.

二次根式中, 被开方数一定是非负数, 否 则就没有意义.

## 二次根式的性质

$$
\begin{aligned}
& (\sqrt{a})^2=a(a \geq 0), \\
& \sqrt{a^2}=|\boldsymbol{a}|=\left\{\begin{array}{c}
\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a}>0), \\
0(\boldsymbol{a}=0), \\
-\boldsymbol{a}(\boldsymbol{a}<0) .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

1. 最简二次根式
   满足下列两个条件的二次根式, 叫做最简二次 根式.
   (1)被开方数不含分母；
   (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
2. 二次根式的乘除法则:
   乘法: $\sqrt{a} \sqrt{b}=\sqrt{a b}(a \geq 0, b \geq 0)$;
   除法: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a \geq 0, b>0)$.
3. 二次根式的加减: 类似合并同类项
   可以先将二次根式化成最简二次根式, 再将 被开方数相同 的二次根式进行合并.

## 例题

例1
求下列二次根式中字母的取值范围
(1) $\sqrt{x-4}-\sqrt{4-x}$;
(2) $\sqrt{x+5}+\frac{1}{\sqrt{3-x}}$.

解:

(1) 由题意得 $\left\{\begin{array}{c}x-4 \geqslant 0, \\ 4-x \geqslant 0,\end{array}\right.$ $\therefore x=4$.

(2) 由题意得 $\left\{\begin{array}{l}x+5 \geq 0, \\ 3-x>0\end{array}\right.$
解得 $-5 \leq x<3$.

例2 若 $\sqrt{x-1}+(3 x+y-1)^2=0$, 求 $\sqrt{5 x+y^2}$ 的值.

解：根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 $\sqrt{x-1}$ 和 $(3 x+y-1)^2$ 均为 0 .
$\because \sqrt{x-1}+(3 x+y-1)^2=0$,
$\therefore x-1=0,3 x+y-1=0$, 解得 $x=1, y=-2$.
则 $\sqrt{5 x+y^2}=\sqrt{5 \times 1+(-2)^2}=3$.

例3 下列运算正确的是 $(\mathrm{C})$

$$
\begin{array}{ll}
\text { A. } \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5} & \text { B. } 2 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2}=6 \sqrt{2} \\
\text { C. } \sqrt{12} \div \sqrt{3}=2 & \text { D. } 3 \sqrt{2}-\sqrt{2}=3
\end{array}
$$

例4 先化简, 再求值: $\frac{x^2}{x-y}-\frac{y^2}{x-y}$, 其中 $x=1+2 \sqrt{3}, y=1-2 \sqrt{3}$.
解析: 先利用分式的加减运算化简式子, 然后代 入数值计算即可.
解: $\frac{x^2}{x-y}-\frac{y^2}{x-y}=\frac{x^2-y^2}{x-y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x-y}=x+y$.
当 $x=1+2 \sqrt{3}, y=1-2 \sqrt{3}$ 时,
原式 $=1+2 \sqrt{3}+1-2 \sqrt{3}=2$.

例5. 先化简, 再求值: $\left(1-\frac{a-2}{a^2-4}\right) \div \frac{a^2+a}{a^2+4 a+4}$, 其中 $a=\sqrt{2}$.
解: 原式 $=\frac{a^2-4-a+2}{(a+2)(a-2)} \div \frac{a(a+1)}{(a+2)^2}$

$$
\begin{aligned}
& =\frac{(a-2)(a+1)}{(a+2)(a-2)} \cdot \frac{(a+2)^2}{a(a+1)} \\
& =\frac{a+2}{a}
\end{aligned}
$$

当 $a=\sqrt{2}$ 时,
原式 $=\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$.

例6 已知 $a$ 是实数, 求 $\sqrt{(a+2)^2}-\sqrt{(a-1)^2}$ 的值.
解: $\sqrt{(a+2)^2}-\sqrt{(a-1)^2}=|a+2|-|a-1|$, 分三种情况讨论:
(1)当 $a \leq-2$ 时, 原式 $=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3$;
(2) 当 $-2<a \leq 1$ 时, 原式 $=(a+2)+(a-1)=2 a+1$;
(3) 当 $a>1$ 时, 原式 $=(a+2)-(a-1)=3$.

正数的平方根有两个，它们为相反数，其中非负的平方根，就是这个数的算术平方根。

例如 $3^2=9$ 和 $(-3)^2=9$

我们称呼 $3$ 为 $9$ 的 算术平方根，而称呼 $ \pm 3$ 为 $9$ 的平方根。

## 分母有理化
把分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法是：根据分式
的基本性质，只要将分子、分母同乘以分母的有理化因式，就可以达到目的．
在根式的除法中，先进行有理化分母，往往是较简便的．

#### 例题
化简 $\frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}} $
解：
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})^2}{(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b})(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})} \\
& =\frac{a+b+2 \sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a-b}+a-b}{(\sqrt{a+b})^2-(\sqrt{a-b})^2} \\
& =\frac{2 a+2 \sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a-b}}{2 b} \\
& =\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}
\end{aligned}
$$

#### 例题
计算 (精确到 0.01 ):  $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{[(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}][(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}]} \\
& =\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2} \\
& =\frac{\sqrt{6}+3-\sqrt{15}}{2 \sqrt{6}} \\
& =\frac{(3+\sqrt{6}-\sqrt{15}) \cdot \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \\
& =\frac{3 \sqrt{6}+6-\sqrt{90}}{12}=\frac{1}{4}(2+\sqrt{6}-\sqrt{10}) \\
& \approx \frac{1}{4}(2+2.449-3.162) \approx 0.32
\end{aligned}
$$

#### 例题
计算 $2 \div(1-\sqrt{2}+\sqrt{3}) $
解:
$$
\begin{aligned}
\text { 原式 } & =\frac{2[(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}]}{[(1-\sqrt{2})+\sqrt{3}] \cdot[(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}]} \\
& =\frac{2-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{(1-\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} \\
& =\frac{2-2 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{-2 \sqrt{2}} \\
& =\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-\sqrt{2}}=\frac{(1-\sqrt{2}-\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2}}{-\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\
& =\frac{\sqrt{2}-2-\sqrt{6}}{-2} \\
& \approx-\frac{1}{2}(1.414-2-2.449) \approx 1.52
\end{aligned}
$$

## 根式方程

#### 例题
解方程 $\sqrt{x+10}+\sqrt{x-11}=7$
分析：解根式方程时, 利用 “移项规则” 可以把所含根式比较均匀地分列于等号两边, 然后再逐步平方. 这样比较简便.
解:
$$
\begin{aligned}
\sqrt{x+10} & =7-\sqrt{x-11} \\
x+10 & =49-14 \sqrt{x-11}+x-11 \\
\sqrt{x-11} & =2 \\
x-11 & =4 \\
x & =15
\end{aligned}
$$
 
验根：把 $x=15$ 代人原方程:
$$
\begin{aligned}
& \text { 左式 }=15+10+15-11=5+2=7 \\
& \text { 右式 }=7
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 原方程的解集是 $\{15\}$.

#### 例题
解方程 $x^2-2 x+6 \sqrt{x^2-2 x+6}=21$

解: 设 $\sqrt{x^2-2 x+6}=y$, 则 $x^2-2 x+6=y^2$. 原方程可变形为 $y^2+6 y-27=0$ $\because y_1=3, \quad y_2=-9$

这就是 $\sqrt{x^2-2 x+6}=3$ 或 $\sqrt{x^2-2 x+6}=-9$, 其中 $\sqrt{x^2-2 x+6}$ 是算术根, 所以不能等于 -9 .
$\therefore \sqrt{x^2-2 x+6}=-9$ 无解.
解方程
$$
\sqrt{x^2-2 x+6}=3
$$

两边平方:
$$
x^2-2 x+6=9 \quad \Rightarrow \quad x^2-2 x-3=0
$$
$$
\therefore \quad x_1=3, \quad x_2=-1
$$

验根: 把 $x_1=3, x_2=-1$, 分别代人方程检验, 可知这两个根都是原方程的根.
$\therefore$ 原方程的解集是: $\{3,-1\}$.
经过检验，符合题意

#### 例题
解方程: $\sqrt{3 x-1}+\frac{2}{\sqrt{3 x-1}}=\sqrt{5 x+3}$
解: 方程两边乘以 $\sqrt{3 x-1}$ 得:
$$
3 x-1+2=\sqrt{5 x+3} \cdot \sqrt{3 x-1}
$$

即：
$$
3 x+1=\sqrt{(5 x+3) \cdot(3 x-1)}
$$

两边平方: $(3 x+1)^2=(5 x+3)(3 x-1)$, 整理得:
$$
3 x^2-x-2=0
$$
$$
\therefore \quad x_1=2, \quad x_2=-\frac{2}{3}
$$

经检验, 当 $x=-\frac{2}{3}$ 时, 原方程所含的根号内都是负数, 因而 $x=-\frac{2}{3}$ 是增根, 应舍去.
$x=1$ 是原方程的根.
$\therefore$ 原方程的解集是: $\{1\}$.

#### 例题
解方程 $\frac{1}{1-\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{3}}{x^2}$
解：分母有理化得：
$$
\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\left(1-x^2\right)}-\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1-\left(1-x^2\right)}=\frac{\sqrt{3}}{x^2}
$$

就是
$$
\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x^2}-\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x^2}=\frac{\sqrt{3}}{x^2}
$$

去分母：
$$
\begin{aligned}
2 \sqrt{1-x^2} & =\sqrt{3} \\
4\left(1-x^2\right) & =3 \\
4 x^2 & =1
\end{aligned}
$$
$$
\therefore \quad x_1=\frac{1}{2}, \quad x_2=-\frac{1}{2}
$$

经检验知, $x_1=\frac{1}{2}$ 和 $x_2=-\frac{1}{2}$ 都是原方程的根.
原方程的解集是 $\left\{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\}$

## 求算术平方根 $\sqrt{c+2 \sqrt{b}}$
在有些计算中，需要将算术平方根 $\sqrt{c+2 \sqrt{b}}$ 表示为两个二次根式的代数和. 利用待定系数法, 也可以解决这类问题.

`例` 计算 $\sqrt{8+2 \sqrt{12}}$
解: 设 $\sqrt{8+2 \sqrt{12}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ ( $x, y$ 都是正整数).
则两边平方后可得:

$$
8+2 \sqrt{12}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=(x+y)+2 \sqrt{x y}
$$

以上恒等式要成立，必须满足：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=8  ...(7.16)\\
x y=12 ...(7.17)
\end{array}\right.
$$

将 (7.16) 代人 (7.17) 得: $x^2-8 x+12=0$

解二次方程得： $x_1=2, \quad x_2=6$ ；
再由 $(6.16)$, 得出 $y_1=6, \quad y_2=2$

$$
\therefore \quad \sqrt{8+2 \sqrt{12}}=\sqrt{2}+\sqrt{6}(=\sqrt{6}+\sqrt{2})
$$

用同样的方法, 可以求得： $\sqrt{8-2 \sqrt{12}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$ （注意： $\sqrt{8-2 \sqrt{12}}=$ $\sqrt{2}-\sqrt{6}$ 是错误的，因为 $\sqrt{2}$ 小于 $\sqrt{6}$ ，其差小于零，但所求算术根 $\sqrt{8-2 \sqrt{12}}$是不能小于零的.）

一般来说，要求形如 $a \pm 2 \sqrt{b}$ 的数的算术平方根（ $a, b$ 都是正整数且 $b$ 不是完全平方数)，就可以引进未定数 $x 、 y$ ，使它们满足 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}=\sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ $(x 、 y$ 都是正整数，且 $x>y)$ 。

两边平方, 得 $a \pm 2 \sqrt{b}=(x+y) \pm 2 \sqrt{x y}$, 比较等式两边相应的部分, 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
a=x+y \\
b=x y
\end{array}\right.
$$

解这个含有未定数 $x, y$ 的方程组，得

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{a+\sqrt{a^2-4 b}}{2}  ...(7.18)\\
y=\frac{a-\sqrt{a^2-4 b}}{2}  ...(7.19)
\end{array}\right.
$$

由这里还可以看出，形如 $a \pm 2 \sqrt{b}$ 的数，只有当 $a^2-4 b>0$ ，且是一个完全平方数时, 才能有形如 $\sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ 的算术平方根.

`例`   求下列各数的算术平方根（精确到 0.01 ）:
1. $3+2 \sqrt{2}$
2. $9+4 \sqrt{5}$
3. $6-\sqrt{20}$

解:
1. 原式 $=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2+1} \approx 2.41$

因为, $x+y=3$ 且 $x y=2$, 可观察得出 $x=2, y=1$.
2. $\because 9+4 \sqrt{5}=9+2 \sqrt{20}$
$\therefore$ 设 $\sqrt{9+2 \sqrt{20}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$, 两边平方, 得:

$$
9+2 \sqrt{20}=(x+y)+2 \sqrt{x y}
$$

比较两边相应部分, 得

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=9 \\
x y=20
\end{array}\right.
$$

解这个方程组, 得: $x=5, \quad y=4$

$$
\therefore \quad \sqrt{9+4 \sqrt{5}}=\sqrt{5}+\sqrt{4} \approx 2.24+2=4.24
$$

3. 设 $\sqrt{6-\sqrt{20}}=\sqrt{6-2 \sqrt{5}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$

两边平方, 得: $6-2 \sqrt{5}=(x+y)-2 \sqrt{x y}$
$\therefore \quad x+y=6, \quad x y=5$ 解得 $x=5, \quad y=1$
$\therefore \quad \sqrt{6-2 \sqrt{5}}=\sqrt{5}-1 \approx 1.24$

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