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椭圆的定义与标准方程
日期:
2023-11-03 20:35
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椭圆的定义与标准方程
## 椭圆的定义 平面内与两个定点$F_1,F_2$ 的距离之和等于常数(记做 $2a$, 且大于$|F_1F_2|$)的点的轨迹叫做椭圆。这2个顶点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。 下图给出了椭圆简单的做法:取一条绳索,绳索两段固定在$F_1$ 和$F_2$ ,用铅笔拉直绳索进行旋转,则笔芯的轨迹就是椭圆,其英文称作Ellipse。 ![](/uploads/2022-10/249497.svg) 在定义中, ① $2a > |F_1F_2| $ 轨迹是椭圆 ② $2a = |F_1F_2| $ 轨迹是$F_1F_2$线段 ③ $2a < |F_1F_2| $ 轨迹不存在。 ## 椭圆是圆锥曲线的一种 圆,椭圆,抛物线和双曲线都被称为圆锥曲线,参考下图,通过切割圆锥体,可以得到这四种图形。 ![](/uploads/2022-10/345_202210030932.png) ## 椭圆标准方程 在平面直角坐标系中,用方程描述了椭圆,椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点,对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴:设椭圆上一点 $M$ 到两个焦点的距离为$2a$ (1) 焦点在 $x$ 轴时,标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ,焦点坐标分布是 $F_1(-c, 0)$ 和 $F_2(c, 0)$ ,且 $a^2=b^2+c^2$ (2) 焦点在 $y$ 轴时,标准方程为 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 下面给出证明: ![](../uploads/2022-10/93156d.svg) 设 $M(x, y)$ 是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为 $2 c(c>0)$ ,那么焦点 $F_1, F_2$ 的坐标分别是 $(-c, 0),(c, 0)$ , 又设 $M$ 与 $F_1, F_2$ 的距离的和为 $2 a$ ,由椭圆定义可知 $$ \left|M F_1\right|+\left|M F_2\right|=2 a $$ 因为 $\left|M F_1\right|=\sqrt{(x+c)^2+y^2},\left|M F_2\right|=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 所以 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2 a$ 将坐标一个根式移到右边,得到 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2 a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 将上式两边平方并化简得到 $$ a^2-c x=a \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$ 将上式平方整理得 $$ \left(a^2-c^2\right) x^2+a^2 y^2=a^2\left(a^2-c^2\right) $$ 两边同除以 $a^2-c^2$ 得 $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 $$ 令 $b=\sqrt{a^2-c^2}$ 即得椭圆标准方程: $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $$ ## 焦点位置的判断 在椭圆的两个标准方程里, 当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是:$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,(a>b>0) $; 当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是:$\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1,(a>b>0) $; 要分清焦点在在$x$轴或者$y$轴,只要看 $x^2$与 $y^2$ 分母的大小。 谁的分母大,焦点就在谁的轴上。
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