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高等数学
第一章 函数、连续与极限
几类特殊的函数
日期:
2023-10-01 11:28
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几类特殊的函数
例1 函数 $y=C$ ，其中 $C$ 为某确定的常数. 它的定义域为 $D=(-\infty,+\infty)$ ，值域 为 $W=\{C\}$ ，它的图形是一条平行于 $x$ 轴的直线(见图1-30)，这个函数称为常 数函数. 例2 函数 $y=|x|=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \geq 0 \\ -x, & x<0\end{array}\right.$ 的定义域为 $D=(-\infty,+\infty)$ ，值域 $W=[0,+\infty)$ ， 它的图形 如图1-31所示，这个函数称为绝对值函数.  例3 函数 $y=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cc}1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0\end{array}\right.$ 的定义域为 $D=(-\infty,+\infty)$ ，值域 $W=\{-1,0,1\}$ ， 它的图形如图1-32所示, 这个函数称为符号函数.  例 4 设 $x$ 为任一实数，不超过 $x$ 的最大整数称 为 $x$ 的整数部分，记作 $[x]$. 函数 $y=[x]$ 的定义域 为 $D=(-\infty,+\infty)$ ，值域为整数集 $\mathbf{Z}$ ，它的图形如图133所示. 可以看出，它的图形在 $x$ 的整数值处出 现跳跃，而跃度为 1 ，这个函数称为取整函数. 比如， $[0.5]=0 ，[\sqrt{3}]=1 ，[-0.5]=-1$, 一般地，有 $[x]=n$ ，当 $x \in[n, n+1) \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$  在例２、例３ 等例子中看到， 有时一个函数要用几个式子表示， 这种自变量在不同变化范围中， 对应法则用不同的式子来表示的函数称为分段函数. 分段函数在实际问题中经常出现， 我们应重视对它的研究. 例5 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^3, & x \geq 1, \\ x-1, & x<1\end{array}\right.$ 是一个分段函数, 它的定义域 $D=(-\infty,+\infty)$. 当 $x \in(-\infty, 1)$ 时，对应的函数值 $f(x)=x-1$ ； 当 $x \in[1,+\infty)$ 时，对应的函数值 $f(x)=x^3$. 它的图形如图134所示. 例如 $-1 \in(-\infty, 1)$ ，则 $f(-1)=-1-1=-2 ; 1 \in[1,+\infty)$ 则 $f(1)=1^3=1$. 
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