最后更新: 2025-02-02 11:29 查看: 668 次反馈刷题

施密特正交化过程

### 向量减法
在理解施密特正交化之前，还是回顾一下向量减法。在高中介绍过向量的三角形法则， $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a-b}$ 表示如下，也就是向量加法里，向量的起点是$B$,指向的终点是$A$,详见 [向量加减](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=165) 
 ![图片](/uploads/2024-11/87f055.jpg){width=200px} 
 记住这个结论，稍后将会用到。

>**重要** 在学习本文前务必理解了本章前面已经介绍的[向量投影](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1597)

### 施密特正交化简单解释
假设有两个线性无关的向量 $a$ 和 $b$, 现在标准正交化这两个向量，让它们变成 $q_1$ 和 $q_2$ 。

首先保持 $a$ 不变让向量 $A=a$ ，接下来要寻找到另一个向量 $B$ ，使得 $A \perp B$ (参考下图) 。假设$B$已经找到，容易看到$p$ 是 $b$ 在 $a$ 上的投影， 根据上面介绍的向量的三角形减法法则，$B$ 就相当于$b-p$
 ![图片](/uploads/2024-11/52ac5f.jpg)

$p$ 相当于 $a$ 放缩了 $x$ 倍，在一维空间内， $x$ 是一个标量:

$$
\begin{gathered}
x=\frac{a^T b}{a^T a} \\
p=a x=x a=\frac{a^T b}{a^T a} a=\frac{A^T b}{A^T A} A \\
B=b-p=b-\frac{A^T b}{A^T A} A
\end{gathered}
$$

这相当于 $B$ 是 $b$ 减去 $b$ 在 $a$ 上的投影， $B$ 是 $b$ 和 $A$ 的线性组合。
最后将 $A$ 变成指向 $A$ 方向的单位向量， $B$ 变成指向 $B$ 方向的单位向量：

$$
q_1=\frac{A}{\|A\|}, \quad q_2=\frac{B}{\|B\|}
$$

这就是格拉姆-施密特正交化方法。
如果还有一个向量 $c$ ，由 $c$ 到 $q_3$ 的转换：

$$
\begin{gathered}
C=c-\frac{A^T c}{A^T A} A-\frac{B^T c}{B^T B} B \\
q_3=\frac{C}{\|C\|}
\end{gathered}
$$

带入几个数值看看
$$
a=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
2
\end{array}\right]
$$

$$
B=b-\frac{A^T b}{A^T A} A=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
2
\end{array}\right]-\frac{\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
2
\end{array}\right]}{\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right]}
$$

$$
B=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
2
\end{array}\right]-\frac{3}{3}\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}
0 \\
-1 \\
1
\end{array}\right]
$$

验证一下：
$$
A^T B=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}
0 \\
-1 \\
1
\end{array}\right] 0 \Rightarrow A \perp B
$$

$$
q_1=\frac{A}{\|A\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right], \quad q_2=\frac{B}{\|B\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r}
0 \\
-1 \\
1
\end{array}\right]
$$

$$
Q=\left[\begin{array}{ll}
q_1 & q_2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}\right]
$$

以上，这个标准正交矩阵$Q$就是通过
$$
A=\left[\begin{array}{ll}
a & b
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 0 \\
1 & 2
\end{array}\right]
$$
得到的。

> 注：下面教程里这里 $[\beta_1,\alpha_1]$= $(\beta_1,\alpha_1)$=$a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=\alpha^T\beta$ 表示向量内积的意思

## 施密特正交化定义
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 是向量空间 $V$ 的一个基，从基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 出发，找一组两两正交的单位向量， $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r ，$ 使 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_r$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 等价， 这个过程称为把基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 规范正交化.

具体步骤如下:
第一步，将基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 正交化 (施密特 (Schmidt) 正交化过程) .

$$
\begin{aligned}
& \beta_1=\alpha_1, \\
& \beta_2=\alpha_2-\frac{\left[\beta_1, \alpha_2\right]}{\left[\beta_1, \beta_1\right]} \beta_1, \\
& \text { 即取 } \beta_3=\alpha_3-\frac{\left[\beta_1, \alpha_3\right]}{\left[\beta_1, \beta_1\right]} \beta_1-\frac{\left[\beta_2, \alpha_3\right]}{\left[\beta_2, \beta_2\right]} \beta_2 \text {, } \\
&
\end{aligned}
$$

第二步，将 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r$ 单位化，得到 $\xi_1=\frac{1}{\left\|\beta_1\right\|} \beta_1, \quad \xi_2=\frac{1}{\left\|\beta_2\right\|} \beta_2, \cdots, \xi_r=\frac{1}{\left\|\beta_r\right\|} \beta_r$
于是， $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_2$ 就是 $V$ 的一个规范正交基.
 
### 为什么要使用施密特正交化法
在一个平面，或者三维空间中，任意一点都可以被坐标系表示出来。而我们更喜欢的是单位直角坐标系，因为在一个单位直角坐标系中，任意一个向量的坐标分量，通过简单的投影就可以搞定。

下面动画展示了一个向量向正交坐标轴的投影，（虽然你可以把这个坐标系想象为传统的直角叫坐标系,即$e_1=(1,0),e_2=(0,1)$，
但是我们没有强制要求这个坐标系的$x$刻度单位一定要和$y$刻度单位一样。换句话说这里的$e_1=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2} )$，$e_2=(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} )$ 也是可以的

![01.gif](/uploads/2024-09/388c3c.gif){width=450px}
因此，如何找到欧式空间的一个“直角坐标系”，变得非常重要。施密特正交化法就告诉我们了一种把“任意坐标系”变为“直角坐标系”的方法。

## 如何理解施密特（Schmidt）正交化

> 利用这个投影公式，我们便可以轻松理解施密特正交化法。如果您还未理解向量投影，请点击[向量投影此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1597)

我们首先需要理解一个向量 $\alpha_2$ 在另外一个向量 $\alpha_1$ 的投影公式。只要利用正交的定义，就很容易知道 $\alpha_2$ 在 $\alpha_1$ 的投影向量为

$$
\frac{\left(\alpha_1, \alpha_2\right)}{\left(\alpha_1, \alpha_1\right)} \alpha_1
$$

![02.gif](/uploads/2024-09/fe2f55.gif){width=450px}

### 二维空间施密特正交化
 
 平面上任意两个不共线的向量都可以构成平面的一个坐标系(也就是一组基)，我们可以利用这两个向量之间的投影得到两个正交的向量:

Step1: 令 $\beta_1=\alpha_1$

Step2: 做向量 $\alpha_2$ 在向量 $\beta_1=\alpha_1$ 的投影，并与 $\alpha_2$ 做差得到

$$
\beta_2=\alpha_2-\frac{\left(\beta_1, \alpha_2\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1
$$

![03.gif](/uploads/2024-09/4e086d.gif)

### 三维空间施密特正交化
 对于一个三维欧空间来说,  我们看看如何利用施密特正交化法将这一组基正交化。

Step1: 令 $\beta_1=\alpha_1$
 ![04.gif](/uploads/2024-09/ed5644.gif) 
 
 
Step2:做向量$\alpha_2$ 在向量 $ \beta_1=\alpha_1$ 的投影，并与 $ \alpha_2 $ 做差得到 
 $\beta_2=\alpha_2-\frac{\left(\beta_1, \alpha_2\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1:$
  ![04.gif](/uploads/2024-09/05.gif)

Step3: 分别做向量 $\alpha_3$ 在向量 $\beta_1, \beta_2$ 的投影 $\frac{\left(\beta_1, \alpha_3\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1, \frac{\left(\beta_2, \alpha_3\right)}{\left(\beta_2, \beta_2\right)} \beta_2$ ，利用 $\alpha_3$ 减去两个投影的和得到

$$
\beta_3=\alpha_3-\frac{\left(\beta_1, \alpha_3\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1-\frac{\left(\beta_2, \alpha_3\right)}{\left(\beta_2, \beta_2\right)} \beta_2
$$
  ![04.gif](/uploads/2024-09/06.gif)

对于n维空间，和2维，3维类似。

没有完全理解？没关系，在下一节将给出具体例题，看过例题后，再来回顾本文介绍的内容。

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