最后更新: 2024-12-14 10:04 ● 参与者查看: 228 次纠错分享参与项目词条搜索

第一宇宙速度

物体在地球附近绕地球运动时, 太阳的作用可以忽略。
在简化之后, 物体只受到指向地心的引力作用, 物体绕地球的运动可视作匀速圆周运动。设地球的质量为 $m_{\text {地 }}$,物体的质量为 $m$, 速度为 $v$, 它到地心的距离为 $r$ 。万有引力提供物体运动所需的向心力, 所以

$$
G \frac{m m_{\text {地 }}}{r^2}=m \frac{v^2}{r}
$$

由此解出

$$
v=\sqrt{\frac{G m_{\text {地 }}}{r}}
$$

就可以求出物体绕行速度的大小。

已知地球质量为 $5.98 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$, 近地卫星在 $100 \sim 200 \mathrm{~km}$的高度飞行, 远小于地球半径 (6400 km), 可以近似用地球半径 $R$ 代替卫星到地心的距离 $r$ 。把数据代人上式后算出

$$
v=\sqrt{\frac{G m_{\text {地 }}}{R}}=\sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24}}{6.40 \times 10^6}} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=7.9 \mathrm{~km} / \mathrm{s}
$$

这就是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度 (first cosmic velocity)。

## 总结
 ![图片](/uploads/2024-12/15d672.jpg)

## 判断
1.地球的第一宇宙速度的大小与地球质量有关. ( $\sqrt{ }$ ）
2.月球的第一宇宙速度也是 $7.9 km / s$.（ $\times$ ）
3.同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度（ $\sqrt{ }$ ）
4.若物体的发射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体绕太阳运行（ $\sqrt{ }$ ）

## 第一宇宙速度的推导

方法一: 由 $G \frac{m_{\text {地 } m}}{R^2}=m \frac{v^2}{R}$ ，得 $v=\sqrt{\frac{G m_{\text {地 }}}{R}}=\sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24}}{6.4 \times 10^6}} m / s$ $\approx 7.9 \times 10^3 m / s$.
方法二：由 $m g=m \frac{v^2}{R}$ 得

$$
v=\sqrt{g R}=\sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} m / s \approx 7.9 \times 10^3 m / s .
$$

第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度, 也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短， $T_{\min }=2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{6.4 \times 10^6}{9.8}} s \approx 5075 s \approx 85 min$ 。正是近地卫星的周期.

### 2. 宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)  $v_发=7.9 km / s$ 时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
(2) $7.9 km / s < v _{\text {发 }}<11.2 km / s$ ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3) $11.2 km / s \leqslant 0_{\text {发 }}<16.7 km / s$ ，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
(4) $v_发 \geqslant 16.7 km / s$ ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间.

`例` 中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行.已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是
A.若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B.“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C.火星与地球的第一宇宙速度之比为$1:\sqrt{5}$
D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度

解：卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度, 由 $G \frac{M m}{R^2}$ $=m \frac{v^2}{R}$, 可得 $v=\sqrt{\frac{G M}{R}}$, 故 $v_{\text {火 }}: v$ 地 $=1: \sqrt{5}$, 所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星, 其速度至少需要 $v$ 火 $=\frac{7.9}{\sqrt{5}} km / s$, 故 A 错误，C 正确；
"天问一号" 探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于 $11.2 km / s$ ，故B错误； $g_{\text {地 }}=G \frac{M_{\text {地 }}}{R_{\text {地 }}}, g_{\text {火 }}=G \frac{M_{\text {火 }}}{R_{\text {火 }}}$, 联立可得 $g_{\text {地 }}>g_{\text {火 }}$, 故 D 错误.

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