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高中物理
第四章 万有引力与天体运动
第二宇宙速度
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2024-12-14 10:05
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第二宇宙速度
物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动时, 可近似认为向心力是由重力提供的, 有 $$ m g=m \frac{v^2}{R} $$ 由此解出 $$ v=\sqrt{g R} $$ 地球引力像一根无形的 “绳子”, 牵引着月球和人造地球卫星环绕地球转动。在地面附近发射飞行器, 如果速度等于 $7.9 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$, 这一飞行器只能围绕地球做圆周运动 (图 7.4-1), 还不能脱离地球引力的束缚, 飞离地球实现星际航行。 理论研究指出, 在地面附近发射飞行器, 如果速度大于 $7.9 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$, 又小于 $11.2 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$, 它绕地球运行的轨迹就不是圆, 而是椭圆。当飞行器的速度等于或大于 $11.2 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$ 时,它就会克服地球的引力, 永远离开地球。我们把 $11.2 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$叫作第二宇宙速度 (second cosmic velocity)。  `例` 宇航员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R.求： (1)该星球的第一宇宙速度的大小； (2)该星球的第二宇宙速度的大小.已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为 $r$ 时的引力势能 $E_{ p }=-G \frac{m M}{r}$. $(G$ 为引力常量 $)$ 解：（1）由题意可知星球表面重力加速度为 $g=\frac{v_0}{t}$, 由万有引力定律知 $m g=m \frac{v_1^2}{R}$解得 $v_1=\sqrt{g R}=\sqrt{\frac{v_0 R}{t}}$. （2）由星球表面万有引力等于物体重力知 $\frac{G M m}{R^2}=m g$, 又 $E_{ p }=-G \frac{m M}{R}$, 解得 $E_{ p }=-\frac{m v_0 R}{t}$, 由机械能守恒定律有 $\frac{1}{2} m v_2{ }^2-\frac{m v_0 R}{t}=0$, 解得 $v_2=$ $\sqrt{\frac{20_0 R}{t}}$.
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