最后更新: 2024-12-10 21:37 ● 参与者查看: 238 次纠错分享参与项目词条搜索

匀变速直线运动

## 匀变速直线运动
小车运动的 $v-t$ 图像类似于图 2.2-1 所示的 $v-t$ 图像, 是一条倾斜的直线。无论 $\Delta t$选在什么区间, 对应的速度的变化量 $\Delta v$ 与时间的变化量 $\Delta t$ 之比都是一样的, 即物体运动的加速度保持不变。所以, 实验中小车的运动是加速度不变的运动。沿着一条直线, 且加速度不变的运动, 叫作匀变速直线运动 (uniform variable rectilinear motion)。匀变速直线运动的 $v-t$ 图像是一条倾斜的直线。

在匀变速直线运动中，如果物体的速度随时间均匀增加, 这种运动叫作匀加速直线运动; 如果物体的速度随时间均匀减小, 这种运动叫作匀减速直线运动。
![图片](/uploads/2024-01/image_2024011072a9c87.png)

## 速度与时间的关系

除 $v-t$ 图像外, 我们还可以用公式描述物体运动的速度与时间的关系。

对于匀变速直线运动来说, 我们可以把运动开始时刻取作 0 时刻, 则由 0 时刻到 $t$ 时刻的时间间隔 $\Delta t$ 为 $t$, 而 $t$时刻的速度 $v$ 与开始时刻的速度 $v_0$ (叫作初速度) 之差就是速度的变化量, 即

$$
\Delta v=v-v_0
$$

把上述两式代人 $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 中, 得到

$$
v=v_0+a t
$$

这就是匀变速直线运动的速度与时间的关系式。

## 梳理
1.匀变速直线运动
沿着一条直线且加速度不变的运动. 如图所示, $v-t$图线是一条倾斜的直线.
 ![图片](/uploads/2024-12/2b4c1e.jpg)
2.匀变速直线运动的两个基本规律
(1)速度与时间的关系式: $v=\underline{v_0+a t}$.
(2)位移与时间的关系式: $x=\underline{v_0 t+\frac{1}{2} a t^2}$.

由以上两式联立可得速度与位移的关系式： $v^2-v_0^2=2 a x$.

3.公式选用原则

以上三个公式共涉及五个物理量，每个公式有四个物理量.选用原则如下:
不涉及位移，选用 $v=v_0+a t$
不涉及末速度，选用 $x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2$
不涉及时间，选用 $v^2-v_0{ }^2=2 a x$

## 判断
1.匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动.（ X ）
2.匀加速直线运动的位移是均匀增加的。（ $\times$ ）
3.匀变速直线运动中，经过相同的时间，速度变化量相同.(对)

## 提升
1.基本思路
 ![图片](/uploads/2024-12/d5a91f.jpg)

2.正方向的选定
无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，通常以初速度v0的方向为正方向；当v0＝0时，一般以加速度a的方向为正方向.速度、加速度、位移的方向与正方向相同时取正，相反时取负.

## 练习
`例`长为 $l$ 的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为 $v_0$ ，要通过前方一长为 $L$ 的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过 $v\left(v<v_0\right)$. 已知列车加速和减速时加速度的大小分别为 $a$ 和 $2 a$ ，则列车从减速开始至回到正常行驶速率 $v_0$ 所用时间至少为
A. $\frac{v_0-v}{2 a}+\frac{L+l}{v}$
B. $\frac{v_0-v}{a}+\frac{L+2 l}{v}$
C. $\frac{3\left(v_0-v\right)}{2 a}+\frac{L+l}{v}$
D. $\frac{3\left(v_0-v\right)}{a}+\frac{L+2 l}{v}$
解：由题知当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过 $v\left(v<v_0\right)$ ，则列车进隧道前必须减速到 $v$ ，若用时最少，则列车先匀减速到 $v$ 进入隧道，再在隧道中匀速运动，出了隧道再匀加速到 $v_0$ 。则有 $v=v_0-2 a t_1$ ，解得 $t_1=\frac{v_0-v}{2 a}$ ，
在隧道内匀速有 $t_2=\frac{L+l}{v}$
列车尾部出隧道后立即加速到 $v_0$ ，有 $v_0=v+a t_3$
解得 $t_3=\frac{v_0-v}{a}$
则列车从减速开始至回到正常行驶速率 $v_0$ 所用时间至少为 $t=$ $\frac{3\left(v_0-v\right)}{2 a}+\frac{L+l}{v}$, 故选 C.

`例`对某汽车刹车性能测试时，当汽车以36 km/h的速率行驶时，可以在18 m的距离被刹住；当汽车以54 km/h的速率行驶时，可以在34.5 m的距离被刹住.假设两次测试中驾驶员的反应时间(驾驶员从看到障碍物到做出刹车动作的时间)与刹车的加速度都相同.问：
(1)这位驾驶员的反应时间为多少；
(2)某雾天，该路段能见度为50 m，则行车速率不能超过多少.
 ![图片](/uploads/2024-12/2dc87e.jpg)
 
 ## 两种匀减速直线运动的比较
  ![图片](/uploads/2024-12/cf82f4.jpg)
  
 `例` 一辆汽车在平直公路上匀速行驶，遇到紧急情况，突然刹车，从开始刹车起运动过程中的位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系式为 $x=30 t-2.5 t^2(m$ ），下列分析正确的是 A.刹车过程中最后 1 s 内的位移大小是 5 m
B. 刹车过程中在相邻 1 s 内的位移差的绝对值为 10 m
C. 从刹车开始计时， 8 s 内通过的位移大小为 80 m
D. 从刹车开始计时，第 1 s 内和第 2 s 内的位移大小之比为 $11: 9$
解：由匀变速直线运动的规律 $x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2$, 可得初速度 $v_0=30 m / s$, 加速度 $a=-5 m / s ^2$, 刹车过程中在相邻 1 s 内的位移差的绝对值 $|\Delta x|=$ $|a(\Delta t)|=5 m$ ，从刹车开始计时到停下的时间 $t_{ m }=\frac{0-v_0}{a}=6 s, 8 s$ 内通过的位移大小为 $x_{ m }=\frac{0-v_0^2}{2 a}=90 m$, 选项 B、C 错误;
把末速度为 0 的匀减速直线运动看成逆向的匀加速直线运动, 刹车过程中最后 1 s 内的位移大小为 $x_1=-\frac{1}{2} a t_0{ }^2=2.5 m$, 从刹车开始计时,第 1 s 内和第 2 s 内的位移大小之比为 $11: 9$, 选项 D 正确, A 错误.

## 逆向思维法解决匀变速直线运动问题

`例` 假设某次深海探测活动中，"蛟龙号" 完成海底科考任务后坚直上浮，从上浮速度为 $v$ 时开始匀减速运动并计时，经过时间 $t$ ，"蛟龙号"上浮到海面，速度恰好减为零，则 "蛟龙号" 在 $t_0\left(t_0<t\right)$ 时刻距离海面的深度为
A. $v_0\left(1-\frac{t_0}{2 t}\right)$
B. $\frac{v\left(t-t_0\right)^2}{2 t}$
C. $\frac{v t}{2}$
D. $\frac{v t_0{ }^2}{2 t}$
解："蛟龙号" 上浮时的加速度大小为 $a=\frac{v}{t}$, 根据逆向思维法, 可知 "蛟龙号" 在 $t_0$ 时刻距离海面的深度为 $h=\frac{1}{2} a\left(t-t_0\right)^2=\frac{v\left(t-t_0\right)^2}{2 t}$, 故选 B.

> 逆向思维法：对于末速度为零的匀减速直线运动，可把该阶段看成逆向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动.

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