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匀变速直线运动★★★★★

## 匀变速直线运动
题目释意：匀变速直线运动，可以分解为“**匀**”“**变速**”“**直线运动**”。直线运动比较好理解，就是运动轨迹是一条直线。变速是相对于匀速来说的，匀速的意思是任何时间，速度是一样的，而变速则是指速度一直在变化的。因为速度变化太复杂了，所以为了简化，我们指考虑“匀变速”运动，即：**匀变速是指速度一直变化，但是这种变化在单位时间内是均匀的** ,在本章后面会介绍匀变速两个常见的例子：自由落体运动和 竖直上抛运动。

## 伽利略对落体运动的研究
物体下落是生活中常见的现象。手中释放的物体、树上滴落的水滴都会在重力的作用下沿竖直方向下落，你注意过它们下落的快慢吗？ 直觉告诉我们，一块石头和一片羽毛同时从相同高度由静止开始下落，石头先落地，羽毛后落地。在公元前 4 世纪，古希腊思想家、哲学家亚里士多德（Aristotle，前 384–前 322）通过对上述类似现象的观察得出论断：越重的物体下落得越快。这个论断与人们的日常经验相吻合。在之后的近两千年时间里，该论断得到了人们的普遍认同。

### 伽利略是如何质疑越重的物体下落得越快论断的？
1638 年，伽利略（图 2–2）在《两种新科学的对话》一书中对亚里士多德给出的结论提出了异议。 伽利略指出，根据亚里士多德越重的物体下落得越快的论断，大石头应该比小石头下落的速度大。没有实验，仅思考就得出了矛盾的结论，伽利略是这么思考的：

> **假定大石头下落的速度为 8 个单位，小石头下落的速度为 4 个单位，把这两块石头捆在一起时，大石头会被小石头拖着而减慢速度，整个系统下落的速度应该小于 8 个单位；而小石头被大石头拉着而加大速度，整个速度应该大于4个单位。 但是，从另外一个角度看，两块石头捆在一起后总重量比大石头大，下落的速度应该大于 8 个单位，不需要实验，仅从理论上，伽利略就推导出了矛盾，因此唯一能合理的解释是必须大小石头速度相等。**。

![图片](/uploads/2025-04/87e5e9.jpg)
伽利略

伽利略根据亚里士多德的论断推理出两个相互矛盾的结果。这说明亚里士多德的论断不能成立。伽利略认为只有一种可能：**物体下落的快慢与它的轻重无关**。

既然亚里士多德关于落体运动快慢的论断是错误的，但生活中我们常见到石块比羽毛下落更快的现象。这是什么原因呢？
后面我们将知道，最大原因是：**空气阻力**。想象一块石头和一根羽毛同时落下，空气阻力对羽毛的作用远远大于空气对石头的作用。

## 匀变速运动的图像

假设小车做匀变速运动， 则小车运动的 $v-t$ 图像类似于图 2.2-1 所示的 $v-t$ 图像, 他是一条倾斜的直线。

![图片](/uploads/2025-12/e44df9.jpg){width=400px}

无论 $\Delta t$选在什么区间, 对应的速度的变化量 $\Delta v$ 与时间的变化量 $\Delta t$ 之比都是一样的, 即物体运动的加速度保持不变。所以, 小车的运动是加速度不变的运动。加速度是沿着一条直线。

从几何上来说，如果小车做匀变速运动，那么直线的斜率就是加速度，且是一个定值。
 
在匀变速直线运动中，如果物体的速度随时间**均匀增加**, 这种运动叫作**匀加速直线运动**; 如果物体的速度随时间**均匀减小**, 这种运动叫作**匀减速直线运动**。

## 匀变速里，速度与时间的关系

除 $v-t$ 图像外, 我们还可以用公式描述物体运动的速度与时间的关系。

对于匀变速直线运动来说, 我们可以把运动开始时刻取作 0 时刻, 则由 0 时刻到 $t$ 时刻的时间间隔 $\Delta t$ 为 $t$, 而 $t$时刻的速度 $v$ 与开始时刻的速度 $v_0$ (叫作初速度) 之差就是速度的变化量, 即

$$
\Delta v=v-v_0
$$

把上述两式代人 $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 中, 得到

$$
\boxed{
v=v_0+a t
}
$$

这就是匀变速直线运动的速度与时间的关系式。

> **特例：当初速度 $v_0=0$ 时（初速度为零的匀加速直线运动），公式简化为 $v_t = at$**。
 
## 匀变速里，位移与时间的关系

如果物体做匀速直线运动，它的速度 $v$ 不随时间 $t$ 变化，其 $v-t$ 图像是一条平行于时间轴的直线，如图 2－2－5所示．在时间 $t$ 内的位移 $s=v t$ ，正好对应着 $v-t$ 图像中阴影矩形的面积．

![图片](/uploads/2025-12/7a59e9.jpg){width=350px}

物体以初速度 $v_0$ 做匀变速直线运动，运动到时刻 $t$ 的速度为 $v_t$ ，其 $v-t$ 图像如图 2－2－6 所示．容易得出，在时间 $t$ 内的位移对应的是 $v-t$ 图像中阴影梯形面积

![图片](/uploads/2025-12/d8a60b.jpg){width=350px}
 
  由图 2－2－6 可知，时间 $t$ 内的位移 $s$ 对应 $v-t$ 图像中阴影梯形面积，即

$$
s=\frac{1}{2}\left(v_0+v_t\right) t
$$

把匀变速直线运动的速度公式

$$
v_t=v_0+a t
$$

代人上式，可得

$$
\boxed{
s=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 ...(2.2.2)
}
$$

上式中 $a$ 为加速度，$v_0$ 为初速度，$s$ 为时间 $t$ 内的位移．
这就是匀变速直线运动位移随时间变化的关系，称为**匀变速直线运动的位移公式**．

## 速度与位移的关系

由匀变速直线运动的速度公式

$$
v_t=v_0+a t
$$

及位移公式

$$
\boxed{
s=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 ...(2.2.3)
}
$$

消去 $t$ 后，可以推出一个新公式，化简可得

$$
v_t^2-v_0^2=2 a s
$$

式（2．2．3）直接表明了初速度 $v_0$ 、末速度 $v_t$ 、加速度 $a$ 和位移 $s$ 之间的关系，在解决很多实际问题时使用特别方便。

设在匀变速直线运动中，物体的初速度为 $v_0$ ，经过两个连续相等的时间后末速度为 $v_t$ ，中间时刻速度为 $v_{\frac{1}{2}}$ ，则有

$$
\begin{aligned}
& v_{\frac{t}{2}}=v_0+\frac{1}{2} a t \\
& v_t=v_{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2} a t
\end{aligned}
$$

消去 $\frac{1}{2} a t$ ，整理可得

$$
\boxed{
v_{\frac{1}{2}}=\frac{v_0+v_t}{2} ...(2.2.4)
}
$$

式（2．2．4）表明，**在匀变速直线运动中，某一段时间内中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度**．

`例`一辆汽车以 $36 km / h$ 的速度在平直公路上匀速行驶。从某时刻起，它以 $0.6 m / s ^2$的加速度加速， 10 s 末因故突然紧急刹车，随后汽车停了下来。刹车时做匀减速运动的加速度大小是 $6 m / s ^2$ 。
（1）汽车在 10 s 末的速度是多少？
（2）汽车从刹车到停下来用了多长时间？
![图片](/uploads/2025-04/3fca7e.jpg)

分析 依题意，汽车加速和减速过程都是在做匀变速直线运动。
第（1）问是已知加速的时间求末速度。
第（2）问是已知末速度求减速的时间。两个问题都需要用匀变速直线运动的速度与时间关系式来求解。其中，第（2）问汽车加速度的方向跟速度，位移的方向相反，需要建立坐标系处理物理量之间的正负号问题。
 
 
解（1）汽车做匀加速直线运动。
初速度 $v_0=36 km / h =10 m / s$ ，加速度 $a=0.6 m / s ^2$ ，时间 $t=10 s$ 。
根据匀变速直线运动速度与时间的关系式，有

$$
v=v_0+a t=10 m / s+0.6 m / s^2 \times 10 s=16 m / s
$$

（2）以汽车运动方向为正方向建立一维坐标系（图2．2－2），与正方向一致的量取正号，相反的取负号。

汽车从第 10 s 末开始做匀减速直线运动，因此初速度 $v_0=16 m / s$ ，末速度 $v=0$ ，加速度 $a=-6 m / s ^2$ 。

根据 $v=v_0+a t$ 得

$$
t=\frac{v-v_0}{a}=\frac{0-16 m / s}{-6 m / s^2}=2.67 s
$$

汽车 10 s 末的速度为 $16 m / s$ ，从刹车到停下来要用 2.67 s 。

## 梳理
1.匀变速直线运动
沿着一条直线且加速度不变的运动. 如图所示, $v-t$图线是一条倾斜的直线.
 ![图片](/uploads/2024-12/2b4c1e.jpg)
2.匀变速直线运动的两个基本规律
(1)速度与时间的关系式: $v=\underline{v_0+a t}$.
(2)位移与时间的关系式: $x=\underline{v_0 t+\frac{1}{2} a t^2}$.

由以上两式联立可得速度与位移的关系式： $v^2-v_0^2=2 a x$.

3.公式选用原则

以上三个公式共涉及五个物理量，每个公式有四个物理量.选用原则如下:
不涉及位移，选用 $v=v_0+a t$
不涉及末速度，选用 $x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2$
不涉及时间，选用 $v^2-v_0{ }^2=2 a x$

### 判断
1.匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动.（ X ）
2.匀加速直线运动的位移是均匀增加的。（ $\times$ ）
3.匀变速直线运动中，经过相同的时间，速度变化量相同.(对)

### 提升
1.基本思路
 ![图片](/uploads/2024-12/d5a91f.jpg)

2.正方向的选定
无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，通常以初速度v0的方向为正方向；当v0＝0时，一般以加速度a的方向为正方向.速度、加速度、位移的方向与正方向相同时取正，相反时取负.

`例`大雾天气，有甲、乙两车在同一平直车道上匀速行驶，甲车在后速度为 $v_1=14 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，乙车在前速度为 $v_2=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，某时刻甲车车头与乙车车尾间的距离为 $L_0=30.5 \mathrm{~m}$ ，此时乙车突然以大小为 $a_0=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 的加速度刹车，经过时间 $t_0$ 甲车车头与乙车车尾间的距离减为 $L=14 \mathrm{~m}$ ，为了两车避免相撞，此时甲车也立即刹车做匀减速直线运动，求：
（1）$t_0$ 的值。
（2）刹车后，甲车做匀减速直线运动的加速度至少多大？

![图片](/uploads/2025-12/0c0ff3.jpg)
 
 解： （1）在 $t_0$ 时间内，甲、乙两车运动位移分别为

$$
\begin{aligned}
& x_1=v_1 t_0 \\
& x_2=v_2 t_0-\frac{1}{2} a_0 t_0^2
\end{aligned}
$$

又

$$
x_1-x_2=L_0-L
$$

解得

$$
t_0=3 \mathrm{~s}
$$

（2）甲车开始刹车时，乙车速度为

$$
v_3=v_2-a_0 t_0=7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
$$

若甲车刹车后经时间 $t$ 两车速度相等（均为 $v$ ），两车恰好避免相撞，则

$$
\begin{aligned}
& v=v_1-a t \\
& v=v_3-a_0 t
\end{aligned}
$$

时间 $t$ 内甲、乙两车运动位移分别为
$$
\begin{aligned}
& x_3=v_1 t-\frac{1}{2} a t^2 \\
& x_4=v_3 t-\frac{1}{2} a_0 t^2
\end{aligned}
$$

又

$$
x_3-x_4=L
$$

联立以上各式解得

$$
a=2.75 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2
$$

即甲车刹车加速度至少为 $2.75 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。

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