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加速度★★★★★

## 加速度
### 引入
一架飞机以 $200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度匀速飞行；一辆汽车从静止开始经过 20 s 后，其速度变为 $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ；一名运动员冲刺后的速度由 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 经过 5 s 变为零。
（1）哪一个物体的速度变化最大？哪一个物体的速度变化最小？
（2）哪一个物体的速度变化要快一些？判断的依据是什么？
（3）运动速度越大的物体，其速度变化越大吗？

通过引例可知，物体的**速度变化有快有慢**，单纯的速度变化的大小并不能准确描述物体速度变化的快慢．速度变化的快慢，既与**速度变化**的大小有关，也与相应的**时间**有关．为此，我们引入一个新的物理量来描述物体运动速度变化的快慢．

物体的**加速度**（acceleration）等于物体速度的变化（ $\Delta v=v_t-v_0$ ）与发生这一变化所用时间 $t$ 之比，用符号 $a$ 表示，即

$$
\boxed{
a=\frac{v_t-v_0}{t}
}
$$

式中 $v_0$ 表示开始时刻的速度，称为**初速度**，$v_t$ 表示结束时刻的速度，称为**末速度**．
在国际单位制中，加速度的单位是米每二次方秒，符号是 $\mathrm{m} / \mathrm{s}^2$ 或 $\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-2}$ 。
 
$1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 的加速度究竟有多大呢？我们把斜面的高度调节为斜面长度的 $\frac{1}{10}$ ，让小球在斜面槽上滚下，小球在这个斜面槽上运动的加速度大约是 $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，其含义为小球每秒的速度变化量是 $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．

> 加速度是矢量, 它既有大小, 也有方向。

## 如何确定运动物体加速度的大小？
加速度是反映质点 $v$速度变化的一个重要指标。要计算加速度，核心是找到速度的开始速度，结束速度和所有的时间，然后带入公式即可。

`例`某高层建筑物内有一台正在向上运行的电梯，乘客按下楼层键后，电梯的速度在 1.5 s 内由 $2.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 均匀减小到零．求该电梯的加速度．

分析：电梯的速度是均匀减小的，即电梯在做匀变速直线运动．考虑到速度和加速度都是有方向的矢量，解题时要先选定一个正方向。若选定电梯初速度的方向为正方向，则加速度为负值。

解：电梯在做匀变速直线运动，选取坚直向上（初速度的方向）为正方向．根据加速度的定义，可得

$$
a=\frac{v_t-v_0}{t}=\frac{0-2.4}{1.5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2=-1.6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2 .
$$

电梯的加速度的大小为 $1.6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，方向坚直向下．

`例`汽车的“百公里加速时间”是反映汽车动力性能的重要指标。表 1–6 为某新型轿车的部分参数，求该车从静正加速到 100 km/h 的加速度大小。
 ![图片](/uploads/2025-04/a1872e.jpg)
 
分析：汽车的＂百公里加速时间＂指的是该车从**静止**起加速到 $100 km / h$ 所需要的时间 $t$ 。把车抽象为质点，假设汽车在加速过程中沿直线运动，根据加速度的定义，利用表中参数可以求得该车的加速度大小。

解：以汽车为对象，设启动时刻 $t_1=0 s$ ，此时汽车的初速度大小 $v_1=0 m / s$ 。由表 $1-$ 7 中的数据可知，在 $t_2=6.71 s$ 的时刻汽车加速到 $100 km / h$ ，此时汽车的速度大小 $v_2=100$ $km / h \approx 27.8 m / s$ 。

根据加速度的定义可得，该车由静止加速到 $100 km / h$ 的加速度 $a$ 大小为

$$
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{27.8 m / s-0 m / s}{6.71 s-0 s} \approx 4.14 m / s
$$

## 如何确定加速度的方向？
加速度与速度同为矢量。根据加速度的定义，加速度 $a$ 的方向与速度变化量 $\Delta v$ 。一辆沿直线行驶的汽车在 5 s 内速度由 $15 m / s$ 增加到 $25 m / s$ ，在随后的 5 s 内速度减小到 $15 m / s$ 。如图1－31 所示，取汽车前进方向为正方向，分别画出两段时间内的初速度与末速度矢量。

![图片](/uploads/2025-04/a26f47.svg){widht=500px}

图1－31 加速度方向与速度方向的关系
如图 1－31（a）所示，在第 1 个 5 s 内：汽车速度的变化量 $\Delta v=v_2-v_1=25 m / s -15$ $m / s =10 m / s$ ，加速度 $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{10 m / s }{5 s}=2 m / s ^2$ 。

如图 1－31（b）所示，在第 2 个 5 s 内：汽车速度的变化量 $\Delta v^{\prime}=v_3-v_2=15 m / s -25$ $m / s =-10 m / s$ ，加速度 $a^{\prime}=\frac{\Delta v^{\prime}}{\Delta t}=\frac{-10 m / s }{5 s}=-2 m / s ^2$ 。

在这两个过程中，汽车加速度的大小（即 $a$ 的绝对值）相同，但前者为正，后者为负，加速度的正、负表示其方向与正方向相同或相反。由此可见，运动物体加速度的方向不一定与速度的方向一致。

> 在直线运动中，若物体的加速度与其速度方向相同，则表示物体的速度大小在增大，做加速运动；若物体的加速度与其速度方向相反，则表示物体的速度大小在减小，做减速运动。

`例` 一质点做直线运动的 v－t 图象如图所示，质点在 $0 \sim \mathrm{t}_1$ 内速度、加速度如何变化？ $\mathrm{t}_1 \sim \mathrm{t}_2$ 内质点的速度、加速度各是多少？

![图片](/uploads/2025-12/876765.jpg){width=300px}

【解析】速度的变化由图线可以直接看出，而加速度的变化需要看图线上各点的斜率如何变化．
由图可知：在 $0 \sim \mathrm{t}_1$ 时间内质点的速度逐渐增大，且不是匀变速直线运动，v－t 图象的倾斜程度逐渐减小，图象的斜率逐渐减小，即加速度逐渐减小，速度增加得越来越慢（注意：速度仍然是增加，只是增加的慢了，比如原理1s增加5m/s， 现在是1s增加4m/s ，可以看到速度仍然增加，只是增加的慢了）．在 $\mathrm{t}_1 \sim \mathrm{t}_2$ 时间内，质点的速度为 $\mathrm{v}_1$ ，加速度为零．
【总结升华】加速度只反映速度变化的快慢，不反映速度的大小，加速度大，速度变化得快；加速度小，速度变化得慢；加速度为零，速度不变，即质点做匀速直线运动或静止．对于非匀变速运动，加速度的变化可从图象的倾斜程度看，也可以从曲线如何弯曲看，曲线向下弯。加速度变小。曲线向上弯，加速度变大。

##  加速度易混混淆的六大错误理解

### 一、 混淆“速度大”和“加速度大”
易错认知
认为**速度越大，加速度一定越大**；或者**加速度越大，速度一定越大**。
正确结论
加速度描述的是**速度变化的快慢**，和速度本身的大小没有必然联系。
- 速度大但加速度可以为0：比如匀速直线飞行的飞机，速度能达到几百m/s，但加速度为0（速度不变）。
- 加速度大但速度可以很小：比如刚点火的火箭，瞬间加速度极大，但初始速度几乎为0。

### 二、 混淆“速度变化大”和“加速度大”
易错认知
认为**速度变化量（ $\Delta v $）越大，加速度一定越大**。
正确结论
加速度的定义是  $a=\frac{\Delta v}{\Delta t} $，加速度大小由**速度变化量和时间的比值**决定，不是只看 $\Delta v $。
- 例子：汽车A在1s内速度从0增加到10m/s， $\Delta v=10\ \text{m/s} $， $a=10\ \text{m/s}^2 $；
  汽车B在10s内速度从0增加到20m/s， $\Delta v=20\ \text{m/s} $，但 $a=2\ \text{m/s}^2 $。
  后者速度变化量大，但加速度更小。

### 三、 忽略加速度的矢量性，搞反“加速/减速”的条件
 易错认知
1.  认为**加速度为正，物体就加速；加速度为负，物体就减速**。
2.  忽略加速度方向和速度变化量 $\Delta v $的方向一致。

正确结论
物体做加速还是减速运动，**只看加速度方向和速度方向是否相同**，和加速度的正负无关（正负由正方向的选取决定）。
- 加速运动： $a $与 $v $ **同向**（比如 $v=5\ \text{m/s} $， $a=2\ \text{m/s}^2 $；或 $v=-5\ \text{m/s} $， $a=-2\ \text{m/s}^2 $）。
- 减速运动： $a $与 $v $ **反向**（比如 $v=5\ \text{m/s} $， $a=-2\ \text{m/s}^2 $；或 $v=-5\ \text{m/s} $， $a=2\ \text{m/s}^2 $）。
- 关键提醒： $\Delta v = v_t - v_0 $，加速度方向一定和 $\Delta v $方向相同。

### 四、 误用匀变速直线运动公式
易错认知
把  $v_t=v_0+at $、 $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2 $ 等公式，**套用在加速度变化的运动中**。
正确结论
上述公式是**匀变速直线运动的专用公式**，适用条件是：加速度 $a $的**大小和方向都不变**。
- 反例：汽车启动时，牵引力变化导致加速度变化，此时不能用匀变速公式计算速度和位移。

### 五、 误解“加速度为0”的运动状态
易错认知
认为加速度为0，物体就**静止**。
正确结论
加速度为0，说明速度**不变化**，物体的运动状态有两种可能：
1.  静止（速度 $v=0 $且保持不变）；
2.  匀速直线运动（速度 $v\neq0 $且保持不变）。

### 六、 刹车问题中的“时间陷阱”
易错认知
刹车问题中，直接代入题目给出的时间计算，忽略**汽车停下后加速度会变为0**。
正确结论
刹车问题要先算**汽车从开始刹车到停止的时间 $t_0 $**，再判断题目给出的时间 $t $和 $t_0 $的关系：
- 若 $t \leq t_0 $：正常用匀减速公式计算；
- 若 $t > t_0 $：汽车在 $t_0 $时已经停下，之后的时间速度为0，不能再用原公式计算。

`例`汽车以 $v_0=10\ \text{m/s} $的速度行驶，刹车加速度 $a=-2\ \text{m/s}^2 $，求刹车后6s的位移。
**错误解法**：直接代入 $t=6\ \text{s} $， $x=10\times6+\frac{1}{2}\times(-2)\times6^2=24\ \text{m} $。
**正确解法**：
1.  先算停车时间 $t_0=\frac{v_t-v_0}{a}=\frac{0-10}{-2}=5\ \text{s} $；
2.  6s > 5s，说明汽车5s就停下了，实际位移用 $t=5\ \text{s} $计算：
     $x=10\times5+\frac{1}{2}\times(-2)\times5^2=25\ \text{m} $。

## 本节梳理
1.物理意义: 描述物体速度变化快慢 的物理量.
2.定义：物体 **速度的变化量** 和发生这一变化所用时间之比.

定义式: $a={\frac{\Delta v}{\Delta t}}$ ，单位: $m / s ^2$.
3.方向：与 $\Delta v$ 的方向一致，由合力的方向决定，而与 $v_0$ 、 $v$ 的方向**无关**，是矢量。

### 判断
1.物体的速度很大，加速度一定不为零.（ $\times$ ）
2.物体的速度为零，加速度可能很大. ( $\sqrt{ }$ )
3.甲的加速度 $a_{\text {甲 }}=2 m / s ^2$ ，乙的加速度 $a_{\text {乙 }}=-3 m / s ^2, a_{\text {甲 }}>a_{\text {乙 }} \cdot(\times)$
4.物体的加速度增大，速度一定增大（ $\times$ ）

## 提升
1.速度、速度的变化量和加速度的对比
 ![图片](/uploads/2024-12/57e329.jpg)

2.判断物体做加速运动还是减速运动，关键是看物体的加速度与速度的方向关系.

![图片](/uploads/2024-12/a999c8.jpg)
 
 ## 理解
 `例`下列关于速度、速度的变化量和加速度的说法正确的是
A.只要物体的速度大小不变，则加速度就为零
B.只要物体的速度变化快，加速度就大
C.只要物体的速度变化量大，加速度就大
D.物体速度在逐渐减小，加速度一定也逐渐减小
解：物体的速度大小不变，加速度也可能不为零，速度的方向可能发生变化，故A错误；
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，只要物体的速度变化快，加速度就大，故B正确；
物体的速度变化量大，加速度不一定大，还和这一变化所用时间有关，故C错误；
当物体速度和加速度反向时，速度减小，加速度也可能增大，故D错误.

`例` 在一次蹦床比赛中，运动员从高处自由落下，以大小为 $8 m / s$ 的坚直速度着网，与网作用后，沿着坚直方向以大小为 $10 m / s$ 的速度弹回，已知运动员与网接触的时间 $\Delta t=1.0 s$ ，那么运动员在与网接触的这段时间内加速度的大小和方向分别为
A. $2.0 m / s ^2$ ，坚直向下
B. $8.0 m / s ^2$ ，坚直向上
C. $10.0 m / s ^2$ ，坚直向下
D. $18.0 m / s ^2$ ，坚直向上

解：规定坚直向下为正方向， $v_1$ 方向与正方向相同， $v_2$ 方向与正方向相反，根据加速度定义式得 $a=\frac{-10-8}{1.0} m / s ^2=-18.0 m / s ^2$ ，负号表示与正方向相反，即加速度方向坚直向上，故选D.

`例`(多选)一个物体做变速直线运动，物体的加速度(方向不变)大小从某一值逐渐减小到零，则在此过程中，关于该物体的运动情况的说法可能正确的是
A.物体速度不断增大，加速度减小到零时，物体速度最大
B.物体速度不断减小，加速度减小到零时，物体速度为零
C.物体速度减小到零后，反向加速再匀速
D.物体速度不断增大，然后逐渐减小
解：物体做变速直线运动，速度方向可能与加速度方向相同，加速度逐渐减小，速度不断增大，当加速度减小到零时，速度达到最大，而后做匀速直线运动，A正确，D错误；
物体做变速直线运动，速度方向可能与加速度方向相反，加速度逐渐减小，速度不断减小，当加速度减小到零时，物体速度可能恰好为零，B正确；
物体的加速度方向与初速度方向可能相反，加速度减小，速度减小，当速度减为零，加速度不为零时，物体反向做加速直线运动，加速度等于零后，物体再做匀速运动，C正确.

`例` 如图所示是一物体的速度与时间的运动图象，根据此图象下列判断正确的是

![图片](/uploads/2025-12/55a7c2.jpg){WIDTH=300PX}

A、物体在 $0 \sim \mathrm{t}_1$ 内做加速运动，在 $\mathrm{t}_1 \sim \mathrm{t}_2$ 内做减速运动
B、物体 $\mathrm{t}_1$ 时刻前后的运动方向相反
C、物体的位移先增大后减小
D、物体在 $0 \sim \mathrm{t}_1$ 的平均加速度小于在 $\mathrm{t}_1 \sim \mathrm{t}_2$ 的平均加速度

解：选AD.  解析：由图象知 $0 \sim \mathrm{t}_1$ 时间内，物体加速， $\mathrm{t}_1 \sim \mathrm{t}_2$ 时间内减速，故选项 A 正确．速度都为正，说明速度方向未变，故选项 B 错误。速度方向未变。物体运动方向未变，物体位移一直增大。故选项 C 错误．从图象可知在 $0 \sim \mathrm{t}_1$ 与 $\mathrm{t}_1 \sim \mathrm{t}_2$ 时间内的速度变化量的数值相同，而前段时间大于后段时间，由 $\mathrm{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 可知： $0 \sim \mathrm{t}_1$ 内的平均加速度小于 $\mathrm{t}_1 \sim \mathrm{t}_2$ 内的平均加速度，故选项 D正确．

`例`一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的图象如图所示，若从出发开始计时，则下列说法正确的是

![图片](/uploads/2025-12/7cc50c.jpg){WIDTH=300PX}
 
 
A、可求 $0 \sim 1$ 和 $1 \sim 2 \mathrm{~s}$ 速度变化量
B、 $0 \sim 1 \mathrm{~s}$ 内速度增加
C、物体的加速度不变
D、 $1 \sim 2 \mathrm{~s}$ 内速度减小

解：答案是ABD. 根据 $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 可得 $\Delta v=a \Delta t$ ，而 $0 \sim 1 \mathrm{~s} 、 1 \sim 2 \mathrm{~s}$ 内加速度已知，故可求 $0 \sim 1 \mathrm{~s} 、 1 \sim 2 \mathrm{~s}$内速度变化量，因此 A 正确． $0 \sim 1 \mathrm{~s}$ 从静止开始做加速运动，速度增加，故 B 正确．物体运动的加速度方向变化，故加速度改变。因此 C 错误。 $1 \sim 2 \mathrm{~s}$ 内速度方向与加速度方向相反，物体速度减小，故 D 正确．

**注意：请注意上面两题纵坐标的区别：前一例纵坐标是v，本例纵左边是a**

`例` 一个物体沿x轴运动，规定向右为正方向，其速度和加速度的情况如下，请判断物体做加速还是减速运动：
    （1）$v=5\ \text{m/s}$，$a=2\ \text{m/s}^2$
    （2）$v=5\ \text{m/s}$，$a=-2\ \text{m/s}^2$
    （3）$v=-5\ \text{m/s}$，$a=-2\ \text{m/s}^2$
    （4）$v=-5\ \text{m/s}$，$a=2\ \text{m/s}^2$
    
 解：加速减速看$a$与$v$是否同向
    （1）同向→**加速运动**
    （2）反向→**减速运动**
    （3）同向（均为负）→**加速运动**
    （4）反向→**减速运动**
    
 
 `例` 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为$2\ \text{m/s}^2$，求：
（1）物体在第$3\ \text{s}$末的速度；
（2）物体在头$3\ \text{s}$内的位移；
（3）物体在第$3\ \text{s}$内的位移。

解：初速度$v_0=0$，$a=2\ \text{m/s}^2$
（1）$v_3=v_0+at=0+2\times3=6\ \text{m/s}$
（2）$x_3=\frac{1}{2}at_3^2=\frac{1}{2}\times2\times9=9\ \text{m}$
（3）第3s内位移=前3s位移-前2s位移
    $x_{2}=\frac{1}{2}\times2\times4=4\ \text{m}$
    $x_{\text{第3s}}=x_3-x_2=9-4=5\ \text{m}$

## 综合训练

`例` 计算下列物体的加速度：
（1）一辆汽车从车站出发作匀加速运动，经 10 s 速度达到 $108 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ．
（2）高速列车过桥后沿平直铁路匀加速行驶，经 3 min 速度从 $54 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 提高到 $180 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ．
（3）沿光滑水平地面以 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 运动的小球，撞墙后等速反弹，与墙壁接触时间为 0.2 s ．

解：规定以初速方向为正方向，则
对汽车 ${v}_0=0, {v}_{{t}}=108 {~km} / {h}=30 {~m} / {s}, {t}=10 {~s}$ ，

$$
\therefore a_1=\frac{v_t-v_0}{t}=\frac{30-0}{10} {~m} / {s}^2=3 {~m} / {s}^2
$$

对列车 ${v}_0=54 {~km} / {h}=15 {~m} / {s}, \quad {v}_{{t}}=180 {~km} / {h}=50 {~m} / {s}, \quad {t}=3 {~min}=180 {~s}$ 。

$$
\therefore a_2=\frac{v_t-v_0}{t}=\frac{50-15}{180} {~m} / {s}^2 \approx 0.19 {~m} / {s}^2
$$

对小球 ${v}_0=10 {~m} / {s}, \quad {v}_{{t}}=-10 {~m} / {s}, {t}=0.2 {~s}$ ，

$$
\therefore a_3=\frac{v_t-v_0}{t}=\frac{-10-10}{0.2} m / s^2=-100 m / s^2
$$

`例` 一个足球以 $4 {~m} / {s}$ 的速度撞到坚直墙壁上，被墙壁以 $3 {~m} / {s}$ 的速度反弹回来，求这个过程中足球速度的改变。

![图片](/uploads/2025-12/be2a3d.jpg)
 
 
解：取初速度的方向为正方向，则 $\mathrm{v}_0=4{~m} /{s},{v}_{\mathrm{t}}=-3{~m} /{s}$

$$
\Delta{v}=\mathrm{v}_{\mathrm{t}}-\mathrm{v}_0=-3{~m} /{s}-4{~m} /{s}=-7{~m} /{s}
$$

`例` 汽车在紧急刹车时，加速度的大小是 $6 {~m} / {s}^2$ ，如果必须在 2 s 内停下来，汽车行驶的最大允许速度是多少？

解 ：由题意可知，$v_t=0, t=2 s, a=-6{~m} /{s}^2$
由公式 $v_t=v_0+$ at 可得 $v_0=v_t$－at

$$
\mathrm{v}_0=\mathrm{v}_{\mathrm{t}}-\mathrm{at}=12{~m} /{s}
$$

`例`  一辆汽车以$20\ \text{m/s}$的速度匀速行驶，紧急刹车时的加速度大小为$5\ \text{m/s}^2$，求：
    （1）汽车刹车后$3\ \text{s}$时的速度；
    （2）汽车刹车后$6\ \text{s}$内的位移。
    
解：先算停车时间$t_0=\frac{0-v_0}{a}=\frac{0-20}{-5}=4\ \text{s}$
    （1）$3\ \text{s}<4\ \text{s}$，速度$v=v_0+at=20-5\times3=5\ \text{m/s}$
    （2）$6\ \text{s}>4\ \text{s}$，位移按$4\ \text{s}$算：$x=v_0t_0+\frac{1}{2}at_0^2=20\times4-\frac{1}{2}\times5\times16=40\ \text{m}$

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