最后更新: 2025-12-25 16:39 查看: 1677 次纠错评论(0) 课件开VIP

速度、速率、平均速度与瞬时速度

## 速度
不同的运动, 位置变化的快慢往往不同, 也就是说,运动的快慢不同。我们已经用位移来表示位置的变化, 那么, 怎样比较物体运动的快慢呢? 物理学中用位移与发生这段位移所用时间之比表示物体运动的快慢, 这就是速度 (velocity)。

速度通常用字母 $v$ 表示, 如果在时间 $\Delta t$ 内物体的位移是 $\Delta x$, 它的速度就可以表示为

$$
\boxed{
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}
}
$$

在国际单位制中, 速度的单位是米每秒, 符号是 $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ 或 $\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}$ 。常用的单位还有千米每时 $\left(\mathrm{km} / \mathrm{h}\right.$ 或 $\left.\mathrm{km} \cdot \mathrm{h}^{-1}\right)$ 、厘米每秒 $\left(\mathrm{cm} / \mathrm{s}\right.$ 或 $\left.\mathrm{cm} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)$ 等。

> **速度是矢量, 它既有大小, 又有方向。速度的方向 (物体运动的方向 ) 和位移的方向相同。**

## 速率
参考下图，$A$用户从甲地到乙地区，可以有①-④ 四种运动方式，为了方便比较路径的长度，人们也提出了速率。速率的定义是：

$$
\boxed{
v=\frac{\text{路径}}{\text{时间}}
}
$$

![图片](/uploads/2025-04/745915.jpg)
 
 > **速率只有大小没有方向，他是标量。**
 
 特别的，一个人沿着圆周运动一圈，不论圆周多长，因为位移为零，所以他的平均速度是零，但是只要在运动，他的运动长度(轨迹长度)就一定大于零，所以速率永远大于零。
 
> **日常口语中常说的“速度”（如“车速50km/h”）实际上多指的是“速率”。**

## 平均速度和瞬时速度

一般来说, 物体在某一段时间内, 运动的快慢通常是变化的。所以, 由 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 求得的速度 $v$, 表示的只是物体在时间 $\Delta t$ 内运动的平均快慢程度, 叫作**平均速度** (average velocity )。

可以设想, 用由时刻 $t$ 到 $t+\Delta t$ 一小段时间内的平均速度来代替时刻 $t$ 物体的速度, 如果 $\Delta t$ 取得小一些, 物体在 $\Delta t$ 这样一个较小的时间内, 运动快慢的差异就不会太大。 $\Delta t$ 越小, 运动快慢的差异就越小。当 $\Delta t$ 非常非常小时,运动快慢的差异可以忽略不计, 此时, 我们就把 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 叫作物体在时刻 $t$ 的**瞬时速度** (instantaneous velocity)。

匀速直线运动是瞬时速度保持不变的运动。在匀速直线运动中, 平均速度与瞬时速度相等。

瞬时速度的大小通常也叫作**速率** (speed)。汽车速度计不能显示车辆运动的方向, 它的示数实际是汽车的速率。日常生活中说到的 “速度”, 有时是指速度，有时候指速率,这要根据上下文判断。

`例`(多选)如图所示，某赛车手在一次野外训练中，先用地图计算出出发地 $A$ 和目的地 $B$ 的直线距离为 9 km ，实际从 $A$ 运动到 $B$ 用时 5 min ，赛车上的里程表指示的里程数是 15 km ，当他经过某路标 $C$ 时，车内速度计指示的示数为 $150 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ，那么可以确定的是

![图片](/uploads/2025-12/5ff356.jpg)
 
 
A．整个过程中赛车的平均速度为 $180 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$
B．整个过程中赛车的平均速度为 $108 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$
C．赛车经过路标 $C$ 时的瞬时速度为 $150 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$
D．赛车经过路标 $C$ 时速度方向为由 $A$ 指向 $B$

解析：选 BC．赛车运动的位移为 9 km ，赛车运动的路程为 15 km ．赛车在整个运动过程中的平均速度计算公式为 $\bar{v}=\frac{x}{t}=108 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ；指针显示赛车经过路标 $C$ 时瞬时速度的大小为 $150 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ，方向应沿 $C$ 点切线而非 $A \rightarrow B$ ．

### 数字计时器
因为瞬时速度时间极短，通常使用数字计时器进行测量。数字计时器是一个可以将采集信息的时间显示出来的仪器．如图 1－4－7 所示的是由数字计时器和光电门组成的计时测量装置．光电门的外形像门，其一边安装发光装置，另一边安装光线接收装置，并都与数字计时器连接．当宽度一定的物体通过光电门时，光线被遮挡，数字计时器开始计时；当物体离开光电门时，数字计时器停止计时．这样就可以记录物体遮挡一个光电门光线的短暂时间．数字计时器还可以记录物体经过两个光电门之间的时间以及测量物体运动的瞬时速度和平均速度．

![图片](/uploads/2025-12/3a2069.jpg){width=300px}
 
 `例`如图所示，气垫导轨上滑块经过光电门时，其上的遮光条将光遮住，电子计时器可自动记录遮光时间 $\Delta t$ ．测得遮光条的宽度为 $\Delta x$ ，用 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 近似代表滑块通过光电门时的瞬时速度．为使 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 更接近瞬时速度，正确的措施是（ ）
  ![图片](/uploads/2025-12/d6036f.jpg)
  
A．换用宽度更窄的遮光条
B．提高测量遮光条宽度的精确度
C．使滑块的释放点更靠近光电门
D．增大气垫导轨与水平面的夹角

解析：选 A．由 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 可知，当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时，$\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 可看成物体的瞬时速度，$\Delta x$ 越小，$\Delta t$ 也就越小，$\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 越接近瞬时速度， A 正确；提高测量遮光条宽度的精确度，只能提高测量平均速度的准确度，不能使平均速度更接近瞬时速度，B 错误；使滑块的释放点更靠近光电门，滑块通过光电门的速度更小，时间更长，因此 C 错误；增大气垫导轨与水平面的夹角，如果滑块离光电门近，也不能保证滑块通过光电门的时间短，D 错误．

## 课外知识  交通区间测速系统
交通区间测速系统是通过在道路卡点架设摄像机而建立的监控抓拍系统．这种测速系统对道路卡点监测区域内所通行的车辆进行实时监控、抓拍，以获取车辆行驶速度、交通流量、车辆的牌照号码以及驾驶员特征等信息，再将信息通过网络传输到公安交通指挥中心和交通控制分中心的数据库中进行数据存储、查询、比对等处理，以便进行集中有效的管理．同时也为公安部门有效打击违章超速、肇事逃逸、可疑车辆等各种违法行为提供有效的技术支持．

区间测速的原理如图1－3－7所示，在同一路段上布设前后两个监控点，通过测出车辆经过这两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，并依据该路段上的限速标准判定车辆是否超速违章，并在 LED 大屏幕上实时发布交通违章车辆信息，以对违章车辆进行告知及警示其他车辆。

![图片](/uploads/2025-12/9f5817.jpg)

以往采用的单点测速仪，司机在熟知测速点的情况下，可以通过刹车降低车速逃避处罚，很容易造成追尾事故。而区间测速采取计算平均车速的方法来检测车辆是否超速，堵住了司机的投机取巧，手段更加科学公正．

## 速度一时间图像
物体运动的速度随时间变化的情况可以用图像来直观表示。以时间 $t$ 为横轴, 速度 $v$ 为纵轴, 坐标中的图像即为速度一时间图像或 $v-t$ 图像。

在方格纸上建立直角坐标系, 根据自己算出的手拉纸带的 $v 、 t$ 数据, 在坐标系中描点, 练习画 $v-t$ 图像。

图 1.3-4 甲是根据某同学的实测数据所描的点, 从这些点的走向能够大致看出纸带运动速度的变化规律。为了更清晰些, 可以用折线把这些点连起来 (图 1.3-4乙)。然而我们知道, 通常速度不会发生突变, 所以, 如果用一条平滑的曲线来描出这些点, 曲线所反映的情况就会与实际更加接近 (图 1.3-4 丙)。
 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110f4aa701.png)
 
 `例` 根据下表，作出 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 物体的速度－时间图像
  ![图片](/uploads/2025-12/e1cb2b.jpg){width=500px}
  
  解： 从表里可以看到，物体A在第0秒，第1秒，第2秒...第5秒速度都是 5m/s 所有，是一个水平直线。同样B也是，如下图

![图片](/uploads/2025-12/f92ba5.jpg){width=300px}
 
 `例`速度为 $5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的匀速直线运动物体在 3 s 内的位移是多少？
解：$\Delta \mathrm{x}=\mathrm{vt}=5 \times 3=15 \mathrm{~m}$
他其实就是直线和坐标轴围成的面积。

![图片](/uploads/2025-12/cb3113.jpg){width=300px}

## 匀速直线运动的图像
 
**①匀速直线运动的$v-t$图**
 对于匀速直线运动的质点，因为速度是恒定的，可以画出如下$v-t$图：
 
 ![图片](/uploads/2025-04/c24701.svg){width=300px}
 
即以速度 v 为纵轴，时间 t 为横轴建立坐标系，可得质点速度随时间变化的图像，你可以理解为，不论t 怎么变换，v的值都是相同的。 所以质点匀速运动的 v–t 图像是一条平行于时间轴的直线，
 
  
 
 
**②匀速直线运动的$x-t$图**

因为质点在任意相等时间间隔 Δt 内通过的位移 Δx 是相同的。所以，他的路径-时间图像是一条直线
 
  ![图片](/uploads/2025-04/997ea3.svg){width=300px}
 
 > 在初中学过一次函数 $y=kx$ 他是一条过原点的直线，因为匀速直线运动速度相同，所以，一次函数可以改写为 $x=vt$ ，通过类比不难得到，匀速直线运动的图像就是一条直线，而函数的系数$k$就是速度

`例`根据A,B的速度-时间图像，做出$v-t$图。

![图片](/uploads/2025-12/0f5e35.jpg){width=400px}

解：速度随时间A均匀增大，B均匀减小，在B减为零后，反向运动，所有B的速度是负数，画出图像如下

![图片](/uploads/2025-12/16db14.jpg){width=400px}
 
 
`例`如下图是A物体在 4 s 内的位移是多少？
 ![图片](/uploads/2025-12/f79aa0.jpg)
 
 解：直线和$X$轴围成的面积，就是移动的距离。
 面积大小 $\mathrm{s}=\frac{4 \times 4}{2}=8$
 即位移为8m

## 基本训练
1.平均速度：物体发生的**位移**与发生这段位移所用时间之比，即 $\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$，是**矢量**，其方向就是对应位移的方向
2.瞬时速度：运动物体在**某一时刻**或经过**某一位置**的速度，是矢量，其方向是物体在这一时刻的运动方向或运动轨迹的切线方向.
3.速率：**瞬时速度** 的大小，是标量。
4.平均速率: 物体运动的路程 与通过这段路程所用时间的比值，**不一定**等于平均速度的大小.

### 练习
1.瞬时速度的方向就是物体在该时刻或该位置的运动方向.(　对　)
2.瞬时速度的大小叫速率，平均速度的大小叫平均速率.(　错　)
3.一个物体在一段时间内的平均速度为0，平均速率也一定为0.( 错)

## 关键能力
1.平均速度和瞬时速度的区别与联系
(1)区别：平均速度表示物体在某段时间或某段位移内运动的平均快慢程度，瞬时速度表示物体在某一时刻或某一位置运动的快慢程度。
(2)联系：瞬时速度是运动时间 $\Delta t \rightarrow 0$ 时的平均速度，公式 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 中，当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时， $v$ 是瞬时速度.

2.两个公式的比较
$\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 是平均速度的定义式, **适用于所有的运动**, 求解平均速度要找准 "位移"和发生这段位移所需的 "时间"；而 $\bar{v}=\frac{v_0+v}{2}$ 只适用于匀变速直线运动。

## 例题

`例`如图是高速上某一“区间测速”的标牌，该路段全长66 km、全程限速100 km/h，一辆汽车通过监测起点和终点的速度分别为95 km/h和90 km/h，通过测速区间的时间为30 min.下列判断正确的是
A.全长66 km表示位移
B.通过起点的速度95 km/h表示瞬时速度
C.该汽车全程的平均速度是92.5 km/h
D.该汽车没有超速
 ![图片](/uploads/2025-04/451bce.jpg){width=200px}
 
解：全长 66 km 表示路程，故A错误；
通过起点和终点的速度均是瞬时速度，故 $B$ 正确；因位移未知，故不能求解平均速度，故 C 错误；由 $v=\frac{s}{t}$ 可知，平均速率为 $v=\frac{66 km}{0.5 h}=132 km / h$ ，大于全程限速 $100 km / h$ ，该汽车超速，故 D 错误．

`例`某同学用手机计步器记录了自己从家到公园再回到家的锻炼情况，如图所示，则下列说法
正确的是
 ![图片](/uploads/2024-12/ded63c.jpg){width=200px}
A.图中的6.65公里指的是位移大小
B.图中的速度5.0千米/小时为瞬时速度
C.图中的速度5.0千米/小时为平均速率
D.图中的速度5.0千米/小时为平均速度的大小

解:手机计步器记录的行程为该同学在这段时间内行走的路程，即题图中的6.65公里指的是路程，故A错误；
题图中的速度5.0千米/小时为对应路程与时间之比，即为平均速率，故C正确，B、D错误.

`例` 如图，气垫导轨上装有两个光电计时装置A与B，AB间距离为L＝30 cm，为了测量滑块的加速度，在滑块上安装了一个宽度为d＝1 cm的遮光条，现让滑块以某一加速度通过A、B，记录遮光条通过A、B的时间分别为0.010 s、0.005 s，滑块从A到B所用时间为0.200 s，则下列说法正确的是
  ![图片](/uploads/2024-12/89f6f3.jpg)
A.滑块通过A的速度大小为1 cm/s
B.滑块通过B的速度大小为2 cm/s
C.滑块的加速度大小为 $5 m/s^2$
D.滑块在A、B间的平均速度大小为3 m/s

解：
 ![图片](/uploads/2024-12/7e4941.jpg)
 滑块通过 $A$ 点时的速度大小为 $v_A=\frac{d}{t_A}=$ $\frac{1}{0.010} cm / s =100 cm / s$, 故 A 错误;
滑块通过 $B$ 点时的速度大小为 $v_B=\frac{d}{t_B}=\frac{1}{0.005} cm / s =200 cm / s$, 故 B错误;
滑块的加速度大小为 $a=\frac{v_B-v_A}{t}=\frac{2-1}{0.200} m / s ^2=5 m / s ^2$, 故 C 正确;滑块在 $A 、 B$ 间的平均速度大小为 $\bar{v}=\frac{L}{t}=\frac{0.3}{0.200} m / s =1.5 m / s$, 故 D错误。

## 用极限法求瞬时速度
由平均速度 $\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ 可知，当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时，平均速度就可以认为是某一时刻或某一位置的瞬时速度.测出物体在微小时间 $\Delta t$ 内发生的微小位移 $\Delta x$ ，就可求出瞬时速度，这样瞬时速度的测量便可转化为微小时间 $\Delta$ 和微小位移 $\Delta x$ 的测量。

`例`一无人机在同一水平面内运动，初始时悬停于空中，开始运动后在5s内向东沿直线飞行了40m，接着又经过5s向北沿直线飞行了30m，再次悬停。无人机的运动轨迹俯视图如图所示，则无人机在整个飞行过程中
 ![图片](/uploads/2025-12/3ebb2e.jpg)
 
 A．平均速率为 $5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
B．平均速率为 $6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
C．平均速度大小为 $5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
D．平均速度大小为 $7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
【答案】 C
【详解】 AB．无人机在 10 s 内的路程为

$$
s=40 \mathrm{~m}+30 \mathrm{~m}=70 \mathrm{~m}
$$

则有 10 s 内的平均速率为

$$
\bar{v}_1=\frac{s}{t}=\frac{70}{10} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
$$

AB 错误；
CD．由位移定义可知，无人机在 10 s 内的位移为

$$
x=\sqrt{40^2+30^2} \mathrm{~m}=50 \mathrm{~m}
$$

则有 10 s 内的平均速度大小为

$$
\bar{v}=\frac{x}{t}=\frac{50}{10} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
$$

C 正确，D 错误。
故选 C。

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