最后更新: 2025-04-20 08:31 查看: 434 次纠错评论(0) 课件开VIP

强化训练：直线运动图像的理解和应用

## 匀变速直线运动的位移

做匀速直线运动物体的位移可以通过它的 $v-t$ 图像求解。这个方法, 对分析匀变速直线运动的位移问题有很好的启示。
 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110eede264.png)

图 2.3-1 是某物体做匀变速直线运动的 $v-t$ 图像, 初速度为 $v_0$, 加速度为 $a_{\circ}$ 做匀变速直线运动的物体, 其位移大小可以用 $v-t$ 图像中着色部分的梯形面积来表示 (证明见本节“拓展学习” 栏目)。

根据图中着色梯形各线段所代表的物理含义以及梯形的面积公式, 可以求得位移

$$
x=\frac{1}{2}\left(v_0+v\right) t
$$

将 $v=v_0+a t$ 代人上式, 有

$$
x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2
$$

这就是匀变速直线运动位移与时间的关系式 。如果初速度为 0 , 这个公式可以简化为 $x=\frac{1}{2} a t^2$ 。

## 速度与位移的关系

这节我们学习了匀变速直线运动的位移与时间的关系式 $x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2$, 上一节我们还学习了匀变速直线运动的速度与时
间的关系式 $v=v_0+a t_{\text {。 }}$
将上述两个公式联立求解，消去时间 $t$ 可得到

$$
v^2-v_0^2=2 a x
$$

这就是匀变速直线运动的速度与位移的关系式。如果在所研究的问题中, 已知量和未知量都不涉及时间, 利用这个公式求解, 往往会更简便。

## 梳理
1.对x-t,a-t 的理解
 ![图片](/uploads/2024-12/f1074e.jpg)
 ![图片](/uploads/2024-12/50749c.jpg)

2.对a－t图像的理解
 ![图片](/uploads/2024-12/38ef19.jpg)
 
 (1)图线①表示物体做加速度逐渐增大的直线运动，图线③表示物体做**加速度逐渐减小**的直线运动，图线②表示物体做匀变速直线运动。
(2)由 $\Delta v=a \Delta t$ 可知图像中图线与横轴所围面积表示,**速度变化量**.

### 判断
1.x－t图像表示物体运动的轨迹.(　错　)
2.x－t图像中的图线过t轴表明速度方向一定发生变化.(　错　)
3.v－t图像上两图线的交点表示两物体此时相遇.(　错　)
4.v－t图像中图线的斜率表示物体的加速度，x－t图像中图线的斜率表示物体的速度.(　对　)
5.x－t、v－t和a－t图像都只能描述直线运动.( 对　)

### 提升
1.无论 $x-r$ 图像、 $v-r$ 图像是直线还是曲线，所描述的运动都是直线运动，图像的形状反映了 $x$ 与 $t 、 v$ 与 $t$ 的函数关系，而**不是物体运动的轨迹**。
2.$ x-t$ 图像中两图线的交点表示两物体相遇， $v-t$ 图像中两图线的交点表示该**时刻两物体的速度相等**，并非相遇。
3.位置坐标 $x-y$ 图像则能描述曲线运动，图线交点表示物体均经过该位置，但不一定相遇，因为不知道时间关系。

## 例题
`例`中国海军服役的歼 - 15舰载机在航母甲板上加速起飞过程中，某段时间内舰载机的位移时间 $(x-t)$ 图像如图所示，则 A.由图可知，舰载机起飞的运动轨迹是曲线
B. 在 $0 \sim 3 s$ 内，舰载机的平均速度大于 $12 m / s$
C. 在 $M$ 点对应的位置，舰载机的速度大于 $20 m / s$
D. 在 $N$ 点对应的时刻，舰载机的速度为 $7.5 m / s$
 ![图片](/uploads/2024-12/71c672.jpg)
 
 解：$x-t$ 图像只能表示直线运动的规律，即舰载机起飞的运动轨迹是直线，A错误；
在 $0 \sim 3 s$ 内, 舰载机通过的位移为 $x=36 m-0=$ 36 m , 平均速度为 $\bar{v}=\frac{x}{t}=\frac{36}{3} m / s =12 m / s$, B 错误;在 $2 \sim 2.55 s$ 内的平均速度为 $\overline{v^{\prime}}=\frac{x_{M N}}{t_{M N}}=\frac{26-15}{2.55-2} m / s =20 m / s$, 根据 $2 \sim 2.55 s$ 内的平均速度等于 $M N$ 连线的斜率大小, 在 $M$ 点对应的位置, 舰载机的速度等于过 $M$ 点的切线斜率大小, 可知在 $M$ 点对应的位置, 舰载机的速度大于 $M N$ 段平均速度 $20 m / s$, C 正确;

在 $0 \sim 2 s$ 内的平均速度为 $\overline{v^{\prime \prime}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{15-0}{2} m / s$ $=7.5 m / s , 0 \sim 2 s$ 内的平均速度等于 $O N$ 连线的斜率大小，在 $N$ 点对应的时刻，舰载机的速度等于过 $N$ 点的切线斜率大小，可知在 $N$ 点对应的时刻，舰载机的速度大于 $O N$ 段平均速度 $7.5 m / s$ ，D错误。

`例` 图为一质点做直线运动的v－t图像，下列说法正确的是
A.BC段表示质点通过的位移大小为34 m
B.在18～22 s时间内，质点的位移为24 m
C.整个过程中，BC段的加速度最大
D.整个过程中，E点所对应的时刻离出发点最远
 ![图片](/uploads/2025-04/888a0a.jpg)
 
解：$B C$ 段，质点的位移大小为 $x=\frac{5+12}{2} \times 4 m=$ 34 m ，选项 A 正确；
在 $18 \sim 22 s$ 时间内，质点的位移为 $x=\frac{12 \times 2}{2} m$ $+\left(-\frac{12 \times 2}{2}\right) m =0$ ，选项 B 错误；
由题图看出，$C E$ 段图线斜率的绝对值最大，则 $C E$ 段对应过程的加速度最大，选项C错误；
由题图看出，在 $0 \sim 20 s$ 时间内，速度均为正值，质点沿正方向运动，在 $20 \sim 22 s$ 时间内，速度为负值，质点沿负方向运动，所以整个过程中，$D$ 点对应时刻离出发点最远，选项 D 错误．

`例`(多选)赛龙舟是端午节的传统活动.下列v－t和s－t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其它龙舟在途中出现船头并齐的有

![图片](/uploads/2024-12/3afe22.jpg)
  ![图片](/uploads/2024-12/7b7303.jpg)
 
 解：选 BD
 A 图是 $v-r$ 图像，由图可知，甲的速度一直大于乙的速度，所以途中不可能出现甲、乙船头并齐，故A错误；

B 图是 $v$ - $t$ 图像，由图可知，开始丙的速度大，后来甲的速度大， $v-t$ 图像中图线与横轴围成的面积表示位移，由图可以判断在途中甲、丙位移会相同，所以在途中甲、丙船头会并齐，故B正确；

C图是 $s$ - $t$ 图像，由图可知，丁一直运动在甲的前面，所以途中不可能出现甲、丁船头并齐，故C错误；
D 图是 $s$ - $t$ 图像，交点表示相遇，所以甲、戊在途中船头会并齐，故D正确.

`例` 一物体由静止开始，在粗糙的水平面上沿直线运动，其加速度a随时间t变化的a－t图像如图所示.若选物体开始运动的方向为正方向，那么，下列说法中正确的是
 ![图片](/uploads/2025-04/fd29d3.jpg)
A.在0～2 s的时间内，物体先做匀速直线运动后做匀减速运动
B.在2 s时物体的位移最大
C.在2～3 s的时间内，物体速度的变化量为－1 m/s
D.在0～4 s的时间内，物体的位移为0

解：在0～1 s的时间内，加速度不变，物体做匀加速运动，在1～2 s的时间内加速度数值减小，物体做加速度减小的加速运动，A错误；
2 s时，加速度为0，速度最大，此时位移不是最
大，B错误；
a－t图像中图线与横轴所围的面积表示速度的变化量，在2～3 s的时间内，速度变化量为Δv＝  ×1×(－2) m/s＝－1 m/s，C正确；
在0～4 s内，物体的速度变化量为0，即物体在4 s时停止运动，位移不为0，D错误.

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