最后更新: 2025-12-27 16:43 查看: 448 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

自由落体运动★★★★★

## 自由落体运动
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动, 叫作自由落体运动 (free-fall motion)。这种运动只在真空中才能发生。在有空气的空间, 如果空气阻力的作用比较小, 可以忽略, 物体的下落可以近似看作自由落体运动。
> 自由落体运动是匀变速直线运动最常见的一个例子。所以，前面介绍的匀变速的[重要结论](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1645)都可以运用在自由落体里。

## 自由落体加速度

对不同物体进行的实验结果表明, 在同一地点, 一切物体自由下落的加速度都相同, 这个加速度叫作**自由落体加速度** ( free-fall acceleration), 也叫作重力加速度 (gravitational acceleration), 通常用 $g$ 表示。

重力加速度的方向坚直向下, 它的大小可以通过多种方法用实验测定。

精确的实验发现, 在地球表面不同的地方, $g$ 的大小一般是不同的。在赤道的海平面处 $g$ 为 $9.780 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$, 在北京 $g$为 $9.801 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。在一般的计算中, $g$ 可以取 $9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 或 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。

自由落体运动是初速度为 0 的匀加速直线运动, 所以匀变速直线运动的基本公式及其推论都适用于自由落体运动。

把初速度 $v_0=0$ 和加速度 $a=g$ 分别代人匀变速直线运动的速度与时间的关系式和位移与时间的关系式, 可以得到自由落体的速度、位移与时间的关系式分别为

$$
v=g t, x=\frac{1}{2} g t^2
$$

物体由静止开始下落的 v–t 图像如下图2-9
 ![图片](/uploads/2025-04/e39e40.svg){width=300px}
 
自由落体运动物体的 v–t 图像（图 2–9 ）中，直线与时间轴之间所包围的面积是不是也可以表示物体 0 ~ t 时间内位移的大小呢？我们假设物体在下落过程中的每一小段时间间隔 Δt 内都做速度不同的匀速直线运动，如图 2–11（a）所示。每经过一个 Δt 的时间间隔，其速度大小就增加 Δv，图像为“台阶”状的折线。物体从零时刻起经过时间 t 后的位移大小等于折线下阴影部分各矩形面积之和。若 Δt 取得更小，Δv 也更小，如图 2–11（b）所示。此时折线下阴影部分的面积仍表示  0 ~ t 时间内物体的位移大小。当 Δt 趋近于零时，“台阶”状的折线就变成为一条过原点的直线，如图 2–11（c）所示。这就是自由落体运动的 v–t 图像，**图中直线与时间轴所包围的“面积”就是自由落体运动经过时间 t 的位移大小**。
 
  ![图片](/uploads/2025-04/e4670a.svg){width=600px}

## 自由落体运动的下落高度
通过上述自主活动，可得物体做自由落体运动的下落高度 $h$（即位移大小）与下落时间 $t$ 的定量关系为

$$
h=\frac{1}{2} g t^2
$$

将上式与 $v=g t$ 联立，消去时间 $t$ ，推得自由落体运动的速度 $v$与下落高度 $h$ 之间的关系为

$$
v^2=2 g h
$$

频闪摄影也可以用来研究自由落体运动。图 2－12 所示为小球做自由落体运动的频闪照片，照片拍摄时的频闪间隔为 $\frac{1}{20} s$ 。分析照片可得自由落体运动下落高度 $h$ 与时间 $t$ 的关系。除此之外，还有多种方法可用于对下落物体定位，计时，测速。有兴趣的话，你也可以试一试。

![图片](/uploads/2025-12/d69a8e.jpg)

## 自由落体核心公式
自由落体运动是初速度为零的**匀加速直线运动**，所有，匀加速直线运动所有的公式都适合自由落体运动。（加速度$a=g$）

自由落体运动是**初速度为0、只受重力作用**的匀加速直线运动，其加速度为重力加速度 $g$（一般取 $g=9.8\ \text{m/s}^2$，粗略计算可取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。以下是它的核心公式大全，按**速度、位移、速度-位移关系、推论**分类整理：

##  速度公式

1.  **瞬时速度公式**
    自由落体任意时刻的速度与时间成正比：
    $$
    \boxed{v = gt}
    $$
    推导依据：匀加速直线运动速度公式 $v = v_0+at$，代入 $v_0=0$、$a=g$ 得到。

2.  **平均速度公式**
    某段时间内的平均速度等于末速度的一半：
    $$
    \boxed{
    \bar{v} = \frac{v}{2} = \frac{gt}{2}
    }
    $$
    推导依据：匀变速直线运动平均速度公式 $\bar{v}=\frac{v_0+v}{2}$，代入 $v_0=0$ 得到。

> 记忆方法：利用上图三角形面积进行记忆

##   位移公式
1.  **位移-时间公式**
    下落的位移与时间的平方成正比：
 
 $$
 \boxed{h = \frac{1}{2}gt^2}
$$
   
推导依据：匀加速直线运动位移公式 $x = v_0t+\frac{1}{2}at^2$，代入 $v_0=0$、$a=g$、$x=h$ 得到。

2.  **位移-平均速度公式**
   位移等于平均速度乘以时间：
 
$$
\boxed{
h = \bar{v}t = \frac{vt}{2}
}
$$

##   速度-位移关系公式
（消去时间 $t$，直接关联速度和位移）
$$
\boxed{
v^2 = 2gh
}
$$
推导：由 $v=gt$ 得 $t=\frac{v}{g}$，代入 $h=\frac{1}{2}gt^2$

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