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自由落体运动★★★★★

## 自由落体运动
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动, 叫作自由落体运动 (free-fall motion)。这种运动只在真空中才能发生。在有空气的空间, 如果空气阻力的作用比较小, 可以忽略, 物体的下落可以近似看作自由落体运动。
> 自由落体运动是匀变速直线运动最常见的一个例子。所以，前面介绍的匀变速的[重要结论](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1645)都可以运用在自由落体里。

## 自由落体加速度

对不同物体进行的实验结果表明, 在同一地点, 一切物体自由下落的加速度都相同, 这个加速度叫作**自由落体加速度** ( free-fall acceleration), 也叫作重力加速度 (gravitational acceleration), 通常用 $g$ 表示。

重力加速度的方向坚直向下, 它的大小可以通过多种方法用实验测定。

精确的实验发现, 在地球表面不同的地方, $g$ 的大小一般是不同的。在赤道的海平面处 $g$ 为 $9.780 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$, 在北京 $g$为 $9.801 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。在一般的计算中, $g$ 可以取 $9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 或 $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 。

自由落体运动是初速度为 0 的匀加速直线运动, 所以匀变速直线运动的基本公式及其推论都适用于自由落体运动。

把初速度 $v_0=0$ 和加速度 $a=g$ 分别代人匀变速直线运动的速度与时间的关系式和位移与时间的关系式, 可以得到自由落体的速度、位移与时间的关系式分别为

$$
v=g t, x=\frac{1}{2} g t^2
$$

物体由静止开始下落的 v–t 图像如下图2-9
 ![图片](/uploads/2025-04/e39e40.svg){width=300px}
 
自由落体运动物体的 v–t 图像（图 2–9 ）中，直线与时间轴之间所包围的面积是不是也可以表示物体 0 ~ t 时间内位移的大小呢？我们假设物体在下落过程中的每一小段时间间隔 Δt 内都做速度不同的匀速直线运动，如图 2–11（a）所示。每经过一个 Δt 的时间间隔，其速度大小就增加 Δv，图像为“台阶”状的折线。物体从零时刻起经过时间 t 后的位移大小等于折线下阴影部分各矩形面积之和。若 Δt 取得更小，Δv 也更小，如图 2–11（b）所示。此时折线下阴影部分的面积仍表示  0 ~ t 时间内物体的位移大小。当 Δt 趋近于零时，“台阶”状的折线就变成为一条过原点的直线，如图 2–11（c）所示。这就是自由落体运动的 v–t 图像，**图中直线与时间轴所包围的“面积”就是自由落体运动经过时间 t 的位移大小**。
 
  ![图片](/uploads/2025-04/e4670a.svg){width=600px}

## 自由落体运动的下落高度
通过上述自主活动，可得物体做自由落体运动的下落高度 $h$（即位移大小）与下落时间 $t$ 的定量关系为

$$
h=\frac{1}{2} g t^2
$$

将上式与 $v=g t$ 联立，消去时间 $t$ ，推得自由落体运动的速度 $v$与下落高度 $h$ 之间的关系为

$$
v^2=2 g h
$$

频闪摄影也可以用来研究自由落体运动。图 2－12 所示为小球做自由落体运动的频闪照片，照片拍摄时的频闪间隔为 $\frac{1}{20} s$ 。分析照片可得自由落体运动下落高度 $h$ 与时间 $t$ 的关系。除此之外，还有多种方法可用于对下落物体定位，计时，测速。有兴趣的话，你也可以试一试。

![图片](/uploads/2025-12/d69a8e.jpg)

## 自由落体核心公式
自由落体运动是初速度为零的**匀加速直线运动**，所有，匀加速直线运动所有的公式都适合自由落体运动。（加速度$a=g$）

自由落体运动是**初速度为0、只受重力作用**的匀加速直线运动，其加速度为重力加速度 $g$（一般取 $g=9.8\ \text{m/s}^2$，粗略计算可取 $g=10\ \text{m/s}^2$）。以下是它的核心公式大全，按**速度、位移、速度-位移关系、推论**分类整理：

##  速度公式

1.  **瞬时速度公式**
    自由落体任意时刻的速度与时间成正比：
    $$
    \boxed{v = gt}
    $$
    推导依据：匀加速直线运动速度公式 $v = v_0+at$，代入 $v_0=0$、$a=g$ 得到。

2.  **平均速度公式**
    某段时间内的平均速度等于末速度的一半：
    $$
    \boxed{
    \bar{v} = \frac{v}{2} = \frac{gt}{2}
    }
    $$
    推导依据：匀变速直线运动平均速度公式 $\bar{v}=\frac{v_0+v}{2}$，代入 $v_0=0$ 得到。

> 记忆方法：利用上图三角形面积进行记忆

##   位移公式
1.  **位移-时间公式**
    下落的位移与时间的平方成正比：
 
 $$
 \boxed{h = \frac{1}{2}gt^2}
$$
   
推导依据：匀加速直线运动位移公式 $x = v_0t+\frac{1}{2}at^2$，代入 $v_0=0$、$a=g$、$x=h$ 得到。

2.  **位移-平均速度公式**
   位移等于平均速度乘以时间：
 
$$
\boxed{
h = \bar{v}t = \frac{vt}{2}
}
$$

##   速度-位移关系公式
（消去时间 $t$，直接关联速度和位移）
$$
\boxed{
v^2 = 2gh
}
$$
推导：由 $v=gt$ 得 $t=\frac{v}{g}$，代入 $h=\frac{1}{2}gt^2$，化简后得到。

## 公式推论
 
应用自由落体运动规律解题时的两点注意

**(1)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，可利用比例关系及推论等规律解题.
①从开始下落，连续相等时间内下落的高度之比为 $1: 3: 5: 7: \cdots$.
②$\Delta v=g \Delta t$. 相等时间内，速度变化量相同.
③连续相等时间 $T$ 内下落的高度之差 $\Delta h=g T^2$ 。
(2)物体由静止开始的自由下落过程才是自由落体运动，从中间截取的一段运动过程不是自由落体运动，等效于坚直下抛运动，应该用初速度不为零的匀变速直线运动规律去解决此类问题.**

**(I)自由落体运动的几个比值式**：
（1）前 $n$ 秒内末速度之比与1秒末， 2 秒末， 3 秒末...$n$ 秒末的速度之比相同： $v_1: v_2: v_3: \cdots: v_n=1: 2: 3: \cdots: n \quad$（根据公式 $v_t=g t$ 可得）；
（2）前 $n$ 秒内的位移之比与 1 秒内， 2 秒内， 3 秒内 ．．．$n$ 秒内位移之比相同： $s_1: s_2: s_3: \cdots: s_n=1^2: 2^2: 3^2: \cdots: n^2 \quad$（根据公式 $s=\frac{1}{2} g t^2$ 可得）
（3）第 $n$ 秒内的位移之比与第 1 秒内，第 2 秒内，第 3 秒内．．．．．第 $n$ 秒内的位移之比相同： $s_1: s_2: s_3: \cdots: s_n=1: 3: 5: \cdots:(2 n-1)$  （根据公式 $s=\frac{1}{2} g t^2$ 可得）

**(II)匀变速直线运动的三个推论**
 在连续相等的时间（T）内的位移之差为一恒定值，即 $\Delta s=a T^2$（又称匀变速直线运动的判别式）．
（1）推导：$s_1=v_0 T+\frac{1}{2} a T^2 ...①$

$$
s_1+s_2=v_0 2 T+\frac{1}{2} a\left(2 T^2\right) ...②
$$

②-① 得：$s_2=v_0 T+\frac{3}{2} a T^2 ...③$
③-①得：$s_2-s_1=a T^2$ 即：$\Delta s=a T^2$ 得证。

即匀变速直线运动的物体在相邻相等时间间隔的位移之差是不变的，则有：

$$
 s_2-s_1=s_3-s_2=s_4-s_3=\cdots=\Delta s=a t^2 
$$

**（III）某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度**，即 $v_{\frac{t}{2}}=\frac{v_0+v_t}{2}$ ．
推证：由 $v_t=v_0+a t$
可知经 $\frac{t}{2}$ 时瞬时速度 $v_{\frac{t}{2}}=v_0+a \frac{t}{2}$ ，
由（1）得 $a t=v_t-v_0$ ，代入（2）中得
即 $v_{\frac{t}{2}}=\frac{v_0+v_t}{2}$ ．

**(IV)某段位移内中间位置的瞬时速度 $v_{ s }$ 与这段位移内的初，末速度 $v_0$ 和 $v_t$ 的关系为** $v_{\frac{s}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(v_0^2+v_t^2\right)} $ ．
推证：由公式 $v_t^2-v_0^2=2 a s ...(1)$
知 $v_{\frac{s}{2}}^2-v_0^2=2 a \frac{s}{2} ...(2)$
 
由（1）得 $a s=\frac{1}{2}\left(v_t^2-v_0^2\right)$ ，代入（2）得：$v_{\frac{s}{2}}^2=v_0^2+\frac{1}{2}\left(v_t^2-v_0^2\right)=\frac{1}{2}\left(v_0^2+v_t^2\right)$
即 $v_{\frac{s}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(v_0^2+v_t^2\right)}$

## 基础训练

> 自由落体运动核心就是 $ v,t,s,g$ 这几个变量不停的转换。

`例`  一个小球从楼顶由静止自由下落，已知重力加速度 $g=10\ \text{m/s}^2$，下落时间 $t=3\ \text{s}$，求：
(1) 小球下落的高度；
(2) 第3秒末的速度。

**解题步骤**
(1) 求下落高度
- 已知条件：$v_0=0$，$g=10\ \text{m/s}^2$，$t=3\ \text{s}$
- 选择公式：$h=\frac{1}{2}gt^2$
- 代入计算：
  $$h=\frac{1}{2}\times10\times3^2 = 45\ \text{m}$$

(2) 求第3秒末的速度
- 选择公式：$v=gt$
- 代入计算：
  $$v=10\times3 = 30\ \text{m/s}$$

**答案**：(1) 下落高度为 $45\ \text{m}$；(2) 第3秒末速度为 $30\ \text{m/s}$。

`例` 一枚石子从悬崖自由下落，落地时速度为 $v=40\ \text{m/s}$，$g=10\ \text{m/s}^2$，求悬崖的高度。

**解题步骤**
- 已知条件：$v_0=0$，$v=40\ \text{m/s}$，$g=10\ \text{m/s}^2$
- 题目无时间，选择**速度-位移公式**：$v^2=2gh$
- 变形求 $h$：
  $$h=\frac{v^2}{2g}$$
- 代入计算：
  $$h=\frac{40^2}{2\times10}=80\ \text{m}$$

**答案**：悬崖高度为 $80\ \text{m}$。

`例`一个物体做自由落体运动，$g=10\ \text{m/s}^2$，求它在第1秒内、第2秒内、第3秒内的位移分别是多少？并验证位移差是否为 $gT^2$。

**解题步骤**
1.  明确**前$n$秒位移**公式：$h_n=\frac{1}{2}gn^2$
    - 前1秒位移：$h_1=\frac{1}{2}\times10\times1^2=5\ \text{m}$
    - 前2秒位移：$h_2=\frac{1}{2}\times10\times2^2=20\ \text{m}$
    - 前3秒位移：$h_3=\frac{1}{2}\times10\times3^2=45\ \text{m}$

2.  计算**第$n$秒内位移**（相邻前$n$秒位移差）
    - 第1秒内位移：$h_Ⅰ=h_1=5\ \text{m}$
    - 第2秒内位移：$h_Ⅱ=h_2-h_1=20-5=15\ \text{m}$
    - 第3秒内位移：$h_Ⅲ=h_3-h_2=45-20=25\ \text{m}$

3.  验证位移差
    - 位移差 $\Delta h=h_Ⅱ-h_Ⅰ=15-5=10\ \text{m}$，$h_Ⅲ-h_Ⅱ=25-15=10\ \text{m}$
    - $gT^2=10\times1^2=10\ \text{m}$，与位移差相等，验证成立。

**答案**：第1、2、3秒内位移分别为5m、15m、25m；位移差为10m，符合 $\Delta h=gT^2$。

`例` 将一个小球以 $v_0=20\ \text{m/s}$ 的速度竖直上抛，落回抛出点时，小球的运动可看作自由落体的逆过程，$g=10\ \text{m/s}^2$，求小球上升的最大高度和上升时间。

**解题步骤**
- 竖直上抛上升过程：$v_0=20\ \text{m/s}$，末速度 $v=0$，加速度 $a=-g=-10\ \text{m/s}^2$
- 求最大高度（逆过程等价于自由落体下落高度）
  选择公式：$v^2-v_0^2=-2gh$（正方向向上）
  代入 $v=0$：
  $$0-20^2=-2\times10\times h \implies h=20\ \text{m}$$
- 求上升时间
  选择公式：$v=v_0-gt$
  代入 $v=0$：
  $$0=20-10t \implies t=2\ \text{s}$$

**答案**：最大高度20m，上升时间2s。

## 例题

`例` 椰子从距地面高度 $h$ 为 20 m的树上由静止落下．不计椰子下落时受到的空气阻力，取 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ．求椰子落地的时间和到达地面时的速度．

分析：椰子下落过程是初速度为零的匀加速直线运动，忽略空气阻力影响，椰子做的是自由落体运动，可以运用自由落体运动规律求解．物体运动的加速度和速度都是矢量，解题时要考虑其方向性，首先要选定一个正方向。本题选定坚直向下为正方向。

解：选定椰子最初下落点为位移的起点，坚直向下为正方向。由自由落体运动的位移公式

$$
h=\frac{1}{2} g t^2 \text {, }
$$

可得 $t=\sqrt{\frac{2 h}{g}}=\sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} \mathrm{~s}=2 \mathrm{~s}$ ．
又 $v=g t=10 \times 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．
即椰子下落到地面的时间是 2 s ，瞬时速度大约是 $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．

速度的计算也可应用匀变速直线运动的推论 $v^2=2 g h$ 求解．

`例` 如图所示，木杆长 5 m ，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方 20 m 处的圆筒 $A B$ ，圆筒 $A B$ 长为 5 m ，取 $g=10 m / s ^2$ ，求:
(1)木杆通过圆筒的上端 $A$ 所用的时间 $t_1$;
(2) 木杆通过圆筒 $A B$ 所用的时间 $t_2$.
 ![图片](/uploads/2024-12/8e2231.jpg)
 
解： 木杆由静止开始做自由落体运动，
设木杆的下端到达圆筒上端 $A$ 所用的时间为 $t_{\text {下 } A}$

$$
h_{\text {F } A}=\frac{1}{2} g t_{F A^2}, h_{\text {F } A}=20 m-5 m=15 m
$$

解得 $t_{ F A}=\sqrt{3} s$
设木杆的上端到达圆筒上端 $A$ 所用的时间为 $t_{\text {上 } A}$ $h_{\text {上 } A}=\frac{1}{2} g t_{E A}{ }^2$, 解得 $t_{\text {上 } A}=2 s$
则木杆通过圆筒上端 $A$ 所用的时间 $t_1=t_{L A}-t_{\text {F } A}=(2-\sqrt{3}) s$

（2）设木杆的上端到达圆筒下端 $B$ 所用的时间为 $t_{\text {上 }}$ ，则 $h_{上 B}=\frac{1}{2} g t_{上 B^2}, h_{上 B}=20 m+5 m=25 m$解得 $t_{上 B}=\sqrt{5} s$, 则木杆通过圆筒所用的时间 $t_2=$ $t_{\text {上 } B}-t_{ F A}=(\sqrt{5}-\sqrt{3}) s$.

`例` 对于自由落体运动 $\left(g=10 m / s ^2\right)$ ，下列说法正确的是
A. 在前 1 s 内、前 2 s 内、前 3 s 内的位移大小之比是 $1: 3: 5$
B. 在相邻两个 1 s 内的位移之差都是 10 m
C. 在第 1 s 内、第 2 s 内、第 3 s 内的平均速度大小之比是 $1: 2: 3$
D.在 1 s 末、 2 s 末、 3 s 末的速度大小之比是 $1: 3: 5$
解：在前 1 s 内、前 2 s 内、前 3 s 内的位移大小之比是 $1: 4: 9$ ，故 A 错误；在相邻两个 1 s 内的位移之差都是 $\Delta x=g T^2=10 m$ ，故B正确；在第 1 s 内、第 2 s 内、第 3 s 内的位移大小之比为 $1: 3: 5$ ，所以平均速度大小之比为 $1: 3: 5$ ，故C错误；
在 1 s 末、 2 s 末、 3 s 末的速度大小之比是 $1: 2: 3$ ，故D错误。

`例`从高度为 125 m 的塔顶先后自由释放 $a 、 b$ 两球，自由释放这两个球的时间差为 $1 s, g$ 取 $10 m / s ^2$ ，不计空气阻力，以下判断正确的是
A. $b$ 球下落高度为 20 m 时， $a$ 球的速度大小为 $20 m / s$
B. $a$ 球接触地面瞬间， $b$ 球离地高度为 45 m
C. 在 $a$ 球接触地面之前，两球速度差恒定
D.在 $a$ 球接触地面之前，两球离地的高度差恒定
解：$b$ 球下落高度为 20 m 时, $t_1=\sqrt{\frac{2 h}{g}}=\sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} s=2 s$, 则 $a$ 球下降了 $3 s, a$ 球的速度大小为 $v=30 m / s$, 故 A 错误;
$a$ 球下降的总时间为 $t_2=\sqrt{\frac{2 \times 125}{10}} s=5 s$, 此时 $b$ 球下降了 $4 s, b$球的下降高度为 $h^{\prime}=\frac{1}{2} \times 10 \times 4^2 m=80 m$, 故 $b$ 球离地面的高度为 $h_B=(125-80) m =45 m$, 故 B 正确;由自由落体的规律可得，在 $a$ 球接触地面之前，两球的速度差恒定，两球离地的高度差变大，故C正确，D错误.

> 自由落体运动中的两个物体先后从同一高度下落，两物体加速度相同，故先下落物体相对后下落物体做匀速直线运动，两者的距离随时间均匀增大.

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