最后更新: 2024-12-11 08:21 ● 参与者查看: 38 次纠错分享参与项目词条搜索

竖直上抛运动

## 竖直上抛运动
竖直上抛运动指物体以某一初速度竖直向上抛出（不考虑空气阻力），只在重力作用下所做的运动。竖直上抛运动是物体具有竖直向上的初速度，加速度始终为重力加速度g的匀变速运动，可分为上抛时的匀减速运动和下落时的自由落体运动的两过程。
它是初速度为v0(v0不等于0)的匀变速直线运动与自由落体运动的合运动，运动过程中上升和下落两过程所用的时间相等，只受重力作用且受力方向与初速度方向相反。
竖直上抛运动的性质是初速度不为零的匀变速直线运动。

## 梳理
坚直上抛运动
（1）运动特点：初速度方向坚直向上，加速度为 $g$ ，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动。
（2）基本规律
①速度与时间的关系式: $v=v_0-g t$ ；
②位移与时间的关系式: $x=v_0 t-\frac{1}{2} g t^2$.

## 判断
1.物体做坚直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值.( $\times$ )
2.做坚直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是坚直向下的（ $\sqrt{ } $ ）

## 提升
1.重要特性
(1)对称性
①时间对称：物体上升过程中从 $A \rightarrow C$ 所用时间 $t_{A d}$ 和下降过程中从 $C \rightarrow A$ 所用时间 $t_{C A}$ 相等（如图），同理 $t_{A B}=t_{B A}$.
②速度对称：物体上升过程经过 $A$ 点的速度与下降过程经过 $A$ 点的速度大小相等.
（2）多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性.
 ![图片](/uploads/2024-12/e12f4e.jpg)

2.研究方法
 ![图片](/uploads/2024-12/c857cb.jpg)
 
 ## 例题
 `例`气球以 $10 m / s$ 的速度沿坚直方向匀速上升，当它上升到离地 175 m的高处时，一重物从气球上掉落，则重物需要经过多长时间才能落到地面? 到达地面时的速度是多大? ( $g$ 取 $10 m / s ^2$ ，不计空气阻力)
 解：
  ![图片](/uploads/2024-12/d8ebe9.jpg)
  
  解法一: 全程法
取全过程进行研究，从重物自气球上掉落开始计时，经时间落地，规定初速度方向为正方向，画出运动过程草图，如图所示.
重物在时间 $t$ 内的位移 $h=-175 m$

$$
\begin{aligned}
& \text { 将 } h=-175 m, v_0=10 m / s \text { 代入 } \\
& h=v_0 t-\frac{1}{2} g t^2
\end{aligned}
$$

解得 $t=7 s$ 或 $t=-5 s$ (舍去)
所以重物落地时速度为 $v=v_0-g t=10 m / s -10 \times 7 m / s =-60 m / s$其中负号表示方向坚直向下，与初速度方向相反.

解法二：分段法
设重物离开气球后，经过 $t_1$ 时间上升到最高点，则 $t_1=\frac{v_0}{g}=\frac{10}{10} s=1 s$
上升的最大高度 $h_1=\frac{1}{2} g t_1{ }^2=\frac{1}{2} \times 10 \times 1^2 m=5 m$故重物离地面的最大高度为

$$
H=h_1+h=5 m+175 m=180 m
$$

重物从最高处自由下落, 落地时间和落地速度分别为 $t_2=\sqrt{\frac{2 H}{g}}=$ $\sqrt{\frac{2 \times 180}{10}} s=6 s$ $v=g t_2=10 \times 6 m / s =60 m / s$ (方向坚直向下)
所以重物从气球上掉落到落地的时间 $t=t_1+t_2=7 s$.

`例`一个从地面上坚直上抛的物体，它两次经过一个较低点 $A$ 的时间间隔是 5 s ，两次经过一个较高点 $B$ 的时间间隔是 3 s ，则 $A 、 B$ 之间的距离是 (不计空气阻力， $g=10 m / s ^2$ )
A. 80 m
B. 40 m
C. 20 m
D. 无法确定
解析：物体做坚直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到 $A$ 点的时间为 $\frac{t_A}{2}$, 从最高点自由下落到 $B$ 点的时间为 $\frac{t_B}{2}, A 、 B$间距离为 $h_{A B}=\frac{1}{2} g\left[\left(\frac{t_A}{2}\right)^2-\left(\frac{t_B}{2}\right)^2\right]=\frac{1}{2} \times 10 \times\left(2.5^2-1.5^2\right) m =20 m$ ，故选 C.

`例`从高为 20 m 的位置以 $20 m / s$ 的初速度坚直上抛一物体， $g$ 取 $10 m / s ^2$ ，当物体到抛出点距离为 15 m 时，所经历的时间可能是
A. 1 s
B. 2 s
C. 3 s
D. $(2+\sqrt{7}) s$

解析
取坚直向上方向为正方向，当物体运动到抛出点上方离抛出点 15 m时，位移为 $x=15 m$ ，由坚直上抛运动的位移时间公式得 $x=v_0 t-$ $\frac{1}{2} g t^2$, 解得 $t_1=1 s, t_2=3 s$; 当物体运动到抛出点下方离抛出点 15 m时，位移为 $x^{\prime}=-15 m$ ，由 $x^{\prime}=v_0 t-\frac{1}{2} g t^2$ ，解得 $t_3=(2+\sqrt{7}) s$ 或 $t_4=(2-\sqrt{7}) s ($ 负值舍去 $)$, 选项 A、C、D 正确, B 错误.

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