最后更新: 2025-12-27 17:11 查看: 157 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

竖直上抛运动

## 竖直上抛运动
竖直上抛运动指物体以某一初速度竖直向上抛出（不考虑空气阻力），只在重力作用下所做的运动。竖直上抛运动是物体具有竖直向上的初速度，加速度始终为重力加速度g的匀变速运动，可分为**上抛时的匀减速运动**和**下落时的自由落体运动**的两过程。

它是初速度为$v_0$($v_0 \ne 0$)的匀变速直线运动与自由落体运动的合运动，运动过程中**上升**和**下落**两过程所用的时间相等，只受重力作用且受力方向与初速度方向相反。

> **竖直上抛运动的性质是初速度不为零的匀变速直线运动**。

## 核心理解
参考下图：把一个小球抛起后又落下，核心有2个阶段
（1）第一阶段：以$v_0$为初始速度，$v_末=0$,$a=-g$的匀减速运动。

（2）第二阶段：以$v_0=0$为初速度，$v_末=v_0$,$a=g$的匀加速运动。

（3）对称性
 ①时间对称：“上升阶段”和“下落阶段”通过同一段大小相等、方向相反的位移所经历的时间相等。
 ②速率对称：“上升阶段"和“下落阶段”通过同一位置时的速度大小相等、方向相反。
 ③位移对称：“上升阶段”和“下降阶段”经过同一位置的位移大小相等、方向相同

![图片](/uploads/2025-12/480230.jpg){width=400px}

## 整体研究
虽然运动可以分解为上面两个阶段，但是作为一个整体， **加速度恒定**：全程加速度大小为重力加速度$g$（约$9.8m/s^2$），方向竖直向下，与初速度方向相反。

因此，我们可以把2个阶段作为一个整体研究，直接带入匀加速公式。

核心公式
以**竖直向上**为正方向，初速度为$v_0$，则加速度$a=-g$（负号表示方向与正方向相反）。
1.  **速度公式**
    $$
    v = v_0 - gt
    $$
    其中，$v$为某时刻$t$的瞬时速度；当$v=0$时，对应物体到达最高点的时刻$t=\frac{v_0}{g}$。

2.  **位移公式**
    $$
    h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2
    $$
    其中，$h$为物体在$t$时间内的位移；$h>0$表示物体在抛出点上方，$h<0$表示物体在抛出点下方。

3.  **速度 - 位移公式**
    $$
    v^2 - v_0^2 = -2gh
    $$
    当物体到达最高点时，$v=0$，可求出最大上升高度：
    $$
    H=\frac{v_0^2}{2g}
    $$

4.  **总运动时间**
    物体从抛出到落回原抛出点时，位移$h=0$，代入位移公式得：
    $$
    0 = v_0t - \frac{1}{2}gt^2
    $$
    解得总时间 $t_{总} = \frac{2v_0}{g}$（舍去$t=0$的初始时刻解）。

考虑下面一个情况：假设你在10楼往上扔小球，以向上为正。当小球经过你的位置继续往下时，此时$h$为负数，表示在你的位置下。
 ![图片](/uploads/2025-12/0f3f8b.jpg)

但是，如果你是在地面上仍小球，小球到达你的位置（地面）时，就会禁止，此时$h=0$，也就是$h$不会有负值，请注意细微的区别。
 
`例`将一个小球以$20m/s$的初速度竖直上抛，求：
1.  小球上升的最大高度；
2.  小球上升到最高点的时间；
3.  小球落回抛出点的时间和速度。

**解答**
已知$v_0=20m/s$，$g=10m/s^2$（取近似值方便计算）
1.  最大高度 $H=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{20^2}{2\times10}=20m$
2.  上升时间 $t_上=\frac{v_0}{g}=\frac{20}{10}=2s$
3.  落回时间 $t_{总}=2t_上=4s$；落回时速度大小与初速度相等，方向向下，即$v=-20m/s$

## 竖直上抛运动经典例题
`例`  一个小球以$v_0=30\ \text{m/s}$的初速度竖

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