最后更新: 2025-12-27 17:11 查看: 247 次纠错评论(0) 课件开VIP

竖直上抛运动

## 竖直上抛运动
竖直上抛运动指物体以某一初速度竖直向上抛出（不考虑空气阻力），只在重力作用下所做的运动。竖直上抛运动是物体具有竖直向上的初速度，加速度始终为重力加速度g的匀变速运动，可分为**上抛时的匀减速运动**和**下落时的自由落体运动**的两过程。

它是初速度为$v_0$($v_0 \ne 0$)的匀变速直线运动与自由落体运动的合运动，运动过程中**上升**和**下落**两过程所用的时间相等，只受重力作用且受力方向与初速度方向相反。

> **竖直上抛运动的性质是初速度不为零的匀变速直线运动**。

## 核心理解
参考下图：把一个小球抛起后又落下，核心有2个阶段
（1）第一阶段：以$v_0$为初始速度，$v_末=0$,$a=-g$的匀减速运动。

（2）第二阶段：以$v_0=0$为初速度，$v_末=v_0$,$a=g$的匀加速运动。

（3）对称性
 ①时间对称：“上升阶段”和“下落阶段”通过同一段大小相等、方向相反的位移所经历的时间相等。
 ②速率对称：“上升阶段"和“下落阶段”通过同一位置时的速度大小相等、方向相反。
 ③位移对称：“上升阶段”和“下降阶段”经过同一位置的位移大小相等、方向相同

![图片](/uploads/2025-12/480230.jpg){width=400px}

## 整体研究
虽然运动可以分解为上面两个阶段，但是作为一个整体， **加速度恒定**：全程加速度大小为重力加速度$g$（约$9.8m/s^2$），方向竖直向下，与初速度方向相反。

因此，我们可以把2个阶段作为一个整体研究，直接带入匀加速公式。

核心公式
以**竖直向上**为正方向，初速度为$v_0$，则加速度$a=-g$（负号表示方向与正方向相反）。
1.  **速度公式**
    $$
    v = v_0 - gt
    $$
    其中，$v$为某时刻$t$的瞬时速度；当$v=0$时，对应物体到达最高点的时刻$t=\frac{v_0}{g}$。

2.  **位移公式**
    $$
    h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2
    $$
    其中，$h$为物体在$t$时间内的位移；$h>0$表示物体在抛出点上方，$h<0$表示物体在抛出点下方。

3.  **速度 - 位移公式**
    $$
    v^2 - v_0^2 = -2gh
    $$
    当物体到达最高点时，$v=0$，可求出最大上升高度：
    $$
    H=\frac{v_0^2}{2g}
    $$

4.  **总运动时间**
    物体从抛出到落回原抛出点时，位移$h=0$，代入位移公式得：
    $$
    0 = v_0t - \frac{1}{2}gt^2
    $$
    解得总时间 $t_{总} = \frac{2v_0}{g}$（舍去$t=0$的初始时刻解）。

考虑下面一个情况：假设你在10楼往上扔小球，以向上为正。当小球经过你的位置继续往下时，此时$h$为负数，表示在你的位置下。
 ![图片](/uploads/2025-12/0f3f8b.jpg)

但是，如果你是在地面上仍小球，小球到达你的位置（地面）时，就会禁止，此时$h=0$，也就是$h$不会有负值，请注意细微的区别。
 
`例`将一个小球以$20m/s$的初速度竖直上抛，求：
1.  小球上升的最大高度；
2.  小球上升到最高点的时间；
3.  小球落回抛出点的时间和速度。

**解答**
已知$v_0=20m/s$，$g=10m/s^2$（取近似值方便计算）
1.  最大高度 $H=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{20^2}{2\times10}=20m$
2.  上升时间 $t_上=\frac{v_0}{g}=\frac{20}{10}=2s$
3.  落回时间 $t_{总}=2t_上=4s$；落回时速度大小与初速度相等，方向向下，即$v=-20m/s$

## 竖直上抛运动经典例题
`例`  一个小球以$v_0=30\ \text{m/s}$的初速度竖直上抛，忽略空气阻力，$g=10\ \text{m/s}^2$。求：
(1) 小球上升的最大高度；
(2) 小球上升到最高点的时间；
(3) 小球从抛出到落回抛出点的总时间；
(4) 小球落回抛出点时的速度。

**解答**
(1) 最高点速度$v=0$，由速度 - 位移公式$v^2 - v_0^2 = -2gH$
$$
H=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{30^2}{2\times10}=45\ \text{m}
$$

(2) 由速度公式$v = v_0 - gt$，代入$v=0$
$$
t_上=\frac{v_0}{g}=\frac{30}{10}=3\ \text{s}
$$

(3) 竖直上抛运动具有**时间对称性**，下落时间等于上升时间，总时间
$$
t_总=2t_上=6\ \text{s}
$$
也可由位移公式$h=0$验证：$0=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$，解得$t=\frac{2v_0}{g}=6\ \text{s}$（舍去$t=0$）。

(4) 由速度公式$v=v_0-gt_总$
$$
v=30-10\times6=-30\ \text{m/s}
$$
负号表示速度方向**竖直向下**，大小与初速度相等（速度对称性）。

`例`将小球以$v_0=20\ \text{m/s}$竖直上抛，$g=10\ \text{m/s}^2$。求：
(1) 抛出后第$1\ \text{s}$末小球的速度和位移；
(2) 抛出后第$3\ \text{s}$末小球的速度和位移；
(3) 小球在抛出点上方$15\ \text{m}$处的时间。

**解答**
规定向上为正方向，加速度$a=-g=-10\ \text{m/s}^2$。

(1)$t_1=1\ \text{s}$
速度：$v_1=v_0-gt_1=20-10\times1=10\ \text{m/s}$（方向向上）
位移：$h_1=v_0t_1-\frac{1}{2}gt_1^2=20\times1-\frac{1}{2}\times10\times1^2=15\ \text{m}$（在抛出点上方）

(2)$t_2=3\ \text{s}$
速度：$v_2=20-10\times3=-10\ \text{m/s}$（方向向下）
位移：$h_2=20\times3-\frac{1}{2}\times10\times3^2=60-45=15\ \text{m}$（仍在抛出点上方，体现对称性）

(3) 令$h=15\ \text{m}$，代入位移公式
$$
15=20t-\frac{1}{2}\times10t^2
$$
整理得$t^2-4t+3=0$，解得$t_1=1\ \text{s}$（上升过程经过该位置），$t_2=3\ \text{s}$（下落过程经过该位置）。

`例`在地面上以$v_0=20\ \text{m/s}$竖直上抛小球A，同时在A正上方$h=15\ \text{m}$处自由释放小球B，$g=10\ \text{m/s}^2$。求两球相遇的时间和相遇时的位置。

**解答**
设抛出后经过时间$t$两球相遇。
- 小球A的位移（竖直上抛）：$h_A=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$
- 小球B的位移（自由落体）：$h_B=\frac{1}{2}gt^2$

相遇时，A的位移等于B的位移加初始高度差，即$h_A=h+h_B$
代入公式：
$$
20t-\frac{1}{2}\times10t^2=15+\frac{1}{2}\times10t^2
$$
整理得$10t^2-20t+15=0$→$2t^2-4t+3=0$ (这样对吗？想想为什么？)
**修正**：相遇时两球的位置相同，正确关系应为$h_A + h_B = h$（A向上走，B向下走，总距离为初始高度差）
$$
\left(20t-5t^2\right)+5t^2=15
$$
化简得$20t=15$，解得$t=0.75\ \text{s}$

相遇时的位置（距离地面高度）：
$$
h_A=20\times0.75-5\times(0.75)^2=15-2.8125=12.1875\ \text{m}
$$

## 梳理
坚直上抛运动
（1）运动特点：初速度方向坚直向上，加速度为 $g$ ，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动。
（2）基本规律
①速度与时间的关系式: $v=v_0-g t$ ；
②位移与时间的关系式: $x=v_0 t-\frac{1}{2} g t^2$.

## 判断
1.物体做坚直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值.( $\times$ )
2.做坚直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是坚直向下的（ $\sqrt{ } $ ）

## 提升
1.重要特性
(1)对称性
①时间对称：物体上升过程中从 $A \rightarrow C$ 所用时间 $t_{A d}$ 和下降过程中从 $C \rightarrow A$ 所用时间 $t_{C A}$ 相等（如图），同理 $t_{A B}=t_{B A}$.
②速度对称：物体上升过程经过 $A$ 点的速度与下降过程经过 $A$ 点的速度大小相等.
（2）多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性.
 ![图片](/uploads/2024-12/e12f4e.jpg)

2.研究方法
 ![图片](/uploads/2024-12/c857cb.jpg)
 
 ## 例题
 `例`气球以 $10 m / s$ 的速度沿坚直方向匀速上升，当它上升到离地 175 m的高处时，一重物从气球上掉落，则重物需要经过多长时间才能落到地面? 到达地面时的速度是多大? ( $g$ 取 $10 m / s ^2$ ，不计空气阻力)
 解：
  ![图片](/uploads/2024-12/d8ebe9.jpg)
  
  解法一: 全程法
取全过程进行研究，从重物自气球上掉落开始计时，经时间落地，规定初速度方向为正方向，画出运动过程草图，如图所示.
重物在时间 $t$ 内的位移 $h=-175 m$

$$
\begin{aligned}
& \text { 将 } h=-175 m, v_0=10 m / s \text { 代入 } \\
& h=v_0 t-\frac{1}{2} g t^2
\end{aligned}
$$

解得 $t=7 s$ 或 $t=-5 s$ (舍去)
所以重物落地时速度为 $v=v_0-g t=10 m / s -10 \times 7 m / s =-60 m / s$其中负号表示方向坚直向下，与初速度方向相反.

解法二：分段法
设重物离开气球后，经过 $t_1$ 时间上升到最高点，则 $t_1=\frac{v_0}{g}=\frac{10}{10} s=1 s$
上升的最大高度 $h_1=\frac{1}{2} g t_1{ }^2=\frac{1}{2} \times 10 \times 1^2 m=5 m$故重物离地面的最大高度为

$$
H=h_1+h=5 m+175 m=180 m
$$

重物从最高处自由下落, 落地时间和落地速度分别为 $t_2=\sqrt{\frac{2 H}{g}}=$ $\sqrt{\frac{2 \times 180}{10}} s=6 s$ $v=g t_2=10 \times 6 m / s =60 m / s$ (方向坚直向下)
所以重物从气球上掉落到落地的时间 $t=t_1+t_2=7 s$.

`例`一个从地面上坚直上抛的物体，它两次经过一个较低点 $A$ 的时间间隔是 5 s ，两次经过一个较高点 $B$ 的时间间隔是 3 s ，则 $A 、 B$ 之间的距离是 (不计空气阻力， $g=10 m / s ^2$ )
A. 80 m
B. 40 m
C. 20 m
D. 无法确定
解析：物体做坚直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到 $A$ 点的时间为 $\frac{t_A}{2}$, 从最高点自由下落到 $B$ 点的时间为 $\frac{t_B}{2}, A 、 B$间距离为 $h_{A B}=\frac{1}{2} g\left[\left(\frac{t_A}{2}\right)^2-\left(\frac{t_B}{2}\right)^2\right]=\frac{1}{2} \times 10 \times\left(2.5^2-1.5^2\right) m =20 m$ ，故选 C.

`例` (多选)从高为 20 m 的位置以 $20 m / s$ 的初速度坚直上抛一物体， $g$ 取 $10 m / s ^2$ ，当物体到抛出点距离为 15 m 时，所经历的时间可能是
A. 1 s
B. 2 s
C. 3 s
D. $(2+\sqrt{7}) s$

解析
取坚直向上方向为正方向，当物体运动到抛出点上方离抛出点 15 m时，位移为 $x=15 m$ ，由坚直上抛运动的位移时间公式得 $x=v_0 t-$ $\frac{1}{2} g t^2$, 解得 $t_1=1 s, t_2=3 s$; 当物体运动到抛出点下方离抛出点 15 m时，位移为 $x^{\prime}=-15 m$ ，由 $x^{\prime}=v_0 t-\frac{1}{2} g t^2$ ，解得 $t_3=(2+\sqrt{7}) s$ 或 $t_4=(2-\sqrt{7}) s ($ 负值舍去 $)$, 选项 A、C、D 正确, B 错误.

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