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功和能

功
在力 $\vec{F}$ 的作用下, 物体发生了位移 $\mathrm{d} \vec{r}$, 则把力在位移方向的分力与位移 $\mathrm{d} \vec{r}$ 的乘积称为功.

$\mathrm{d} W=F \cos \theta \mathrm{d} r \quad$ 焦耳 $(\mathrm{J})$
矢量式: $\quad \mathrm{d} W=\vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{r}$

$$
W=\int_a^b \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{r}
$$

功描写了力对空间积累作用.
功的量值与力的大小、方向和质点的位移有关. • 功是一个过程量, 它的值与质点运动的具体路径有关.
![图片](/uploads/2024-01/image_2024011074d44c4.png)

## 功率

一 单位时间内所作的功. 它是反映作功快慢程度的一个物理量.

- 平均功率 $\bar{P}=\frac{\Delta W}{\Delta t}$
- 瞬时功率 $P=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta W}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{~d} t}=\vec{F} \cdot \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{~d} t}=\vec{F} \cdot \vec{v}$
  瞬时功率等于力和速度的标积.
  瓦特 (W),
  1 瓦特 $(\mathrm{W})=1$ 焦耳 $\cdot$ 秒 $^{-1}\left(\mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)$

## 动能

外力对物体作功, 对物体运动状态的改变带来什么结果？
合力对质点做的功为

$$
\begin{aligned}
W & =\int_a^b \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{r}=\int_a^b m \frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{~d} t} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{v}} \mathrm{d} t \\
& =\int_{\vec{v}_a}^{\vec{v}_b} m \overrightarrow{\boldsymbol{v}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{\boldsymbol{v}}=\int_{v_a}^{v_b} m \boldsymbol{v} \mathrm{d} \boldsymbol{v} \\
& =\frac{1}{2} m v_b^2-\frac{1}{2} m v_a^2
\end{aligned}
$$

质点的动能 $E_k=\frac{1}{2} m v^2$
物体运动时所具有的能量.
![图片](/uploads/2024-01/image_202401108d69d90.png)

## 质点的动能定理

合外力对质点所做的功等于质点动能的增量.

$$
W=\frac{1}{2} m v_2^2-\frac{1}{2} m v_1^2=E_{\mathrm{k} 2}-E_{\mathrm{k} 1}
$$

- 动能是标量, 是状态量 $v$ 的单值函数, 也是状态量.
- 功与动能的本质区别: 它们的单位和量纲相同,但功是过程量, 动能是状态量.
- 能量是物体做功本领的量度.
- 动能定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性参考系, 动能也与参考系有关.
  ![图片](/uploads/2024-01/image_202401108798f56.png)
  ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110ac21c38.png)
  ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110469377f.png)

重力、弹性力和万有引力做功都与路径无关, 这样的力称为保守力.
保守力沿闭合路径积分为零.

$$
W=\oint_l \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{r}=0, \quad F \text { 为保守力 }
$$

保守力包括: 重力、弹性力、万有引力、静电力等.
非保守力包括: 摩擦力、爆炸力等耗散力.
保守力做功仅与位置有关, 其值称物体在保守力场中的势能 $\boldsymbol{E}_{\mathrm{p}}$.

## 势能

势能(势能函数)是由物体的相对位置决定的函数, 与保守力作功有关, 是状态函数.

物体在保守力场中 $a 、 b$ 两点的势能 $E_{\mathrm{pa}}$ 与 $E_{\mathrm{pb}}$ 之差, 等于质点由 $a$ 点移动到 $b$ 点过程中保守力所做的功 $W_{\mathrm{ab}}$.

$$
\begin{aligned}
& E_{p a}-E_{p b}=\int_a^b \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{r}=W_{a b} \\
& W_{a b}=-\left(E_{p b}-E_{p a}\right)=-\Delta E_p
\end{aligned}
$$

保守力做功在数值上等于系统势能的减少.
说明: 1. 势能是一个系统的属性.
2. 势能的大小只有相对的意义, 相对于势能的零点而言.
3. 势能的零点可以任意选取.

设空间 $r_0$ 点为势能的零点, 则空间任意一点 $r$ 的势能为:

$$
E_p(\vec{r})=E_p(\vec{r})-E\left(\vec{r}_0\right)=\int_{\vec{r}}^{\vec{r}_0} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{r}
$$

结论: 空间某点的势能 $E_{\mathrm{p}}$ 在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。
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