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动量守恒

## 动量

同时考虑质量与速度两个因素, 才能全面地表达物体的运动状态。

$$
\vec{p}=m \vec{v} \quad\left(\mathrm{~kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{-1}\right)
$$

![图片](/uploads/2024-01/image_202401109a813d6.png)

## 冲量

牛顿第二定律 $\quad \vec{F}=\frac{\mathrm{d}(m \vec{v})}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \vec{p}}{\mathrm{~d} t} \quad \square \vec{F} \mathrm{~d} t=\mathrm{d} \vec{p}$
式中 $\vec{F} \mathrm{~d} t$ 表示力 $\vec{F}$ 在时间 $\mathrm{d} t$ 内的累积量, 称为时间 $\mathrm{d} t$内质点所受合外力的冲 量, 即

$$
\vec{I}=\vec{F} \mathrm{~d} t \quad(\mathrm{~N} \cdot \mathrm{s})
$$

描写了力对时间的积累作用.
运动员在投掷标枪时，伸直手臂，尽可能的延长手对标枪的作用时间，以提高标枪出手时的速度.
 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110c01e1ff.png)

## 质点的动量定理

当作用时间为 $t_1 \rightarrow t_2$, 合外力的冲量为

$$
\begin{gathered}
\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2} \vec{F} \mathrm{~d} t=\int_{\vec{p}_1}^{\vec{p}_2} \mathrm{~d} \vec{p}=\vec{p}_2-\vec{p}_1=m \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_2-m \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_1 \\
\vec{I}=\int_{t_1}^{t_2} \vec{F} \mathrm{~d} t=m \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_2-m \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_1
\end{gathered}
$$

质点在运动过程中, 所受合外力的冲量等于质点动的增量 — 质点动量定理.
冲量是矢量, 方向与质点动量增量的方向一致.

## 冲力

$\vec{I}=\vec{F} \mathrm{~d} t$
当两个物体碰撞时, 它们相互作用所时间很短, 相互作用的力很大, 而且变化非常迅速, 这种力称为冲力.
![图片](/uploads/2024-01/image_2024011016a02a8.png)

平均冲力

$$
\begin{aligned}
& \overline{\vec{F}}=\frac{1}{t-t_0} \int_{t_0}^t \vec{F} \mathrm{~d} t \\
& \vec{I}=\overline{\vec{F}} \Delta t=\Delta \vec{p}
\end{aligned}
$$

结论: 物体动量变化一定的情况下,作用时间越长, 物体受到的平均冲力越小; 反之则越大.

![图片](/uploads/2024-01/image_2024011054634b6.png)
![图片](/uploads/2024-01/image_20240110bdd20dd.png)

说明:

- 动量的矢量性: 系统的总动量不变是指系统内各物体动量的矢量和不变, 而不是指其中某一个物体的动量不变. 系统动量守恒, 但每个质点的动量可能变化.
- 系统动量守恒的条件:
  (1)系统不受外力; (2)合外力 $=\mathbf{0}$; (3)内力 $>>$ 外力. 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中, 内力>>外力, 可略去外力.
- 若系统所受外力的矢量和 $\mathbf{0 0}$, 但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零, 动量守恒可在某一方向上成立.
- 动量守恒定律只适用于惯性系.

例题. 一质量为 $m$ 人, 站在长为 $L$ 、质量为 $M$ 的车的车尾. 开始时人和车相对地面静止, 后此人从车尾走到车头, 求车在光滑的水平面上滑行的距离.
 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240110e8ccc57.png)

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