电容和电容器

一、孤立导体的电容
导体具有储存电荷的本领

电容: 孤立导体所带电量 $q$ 与其电势 $V$ 的比值.
$1 \mathrm{~F}=10^6 \mu \mathrm{F}=10^{12} \mathrm{pF}$

孤立导体球
电势: $\quad V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$

孤立导体球的电容为:

$$
C=\frac{q}{V}=\frac{q}{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}}=4 \pi \varepsilon_0 R
$$

孤立导体的电容仅取决于导体的几何形状和大小, 与导体是否带电无关.

地球的电容:

$$
\begin{aligned}
C & =4 \pi \varepsilon_0 R=4 \pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 6.4 \times 10^6 \mathrm{~F} \\
& =7.11 \times 10^{-4} \mathrm{~F}
\end{aligned}
$$

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圆柱形电容器电容:

$$
C=\frac{q}{V_{\mathrm{AB}}}=\frac{2 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r l}{\ln \frac{R_{\mathrm{B}}}{R_{\mathrm{A}}}}
$$

设极板间距为 $\boldsymbol{d}$

$$
R_{\mathrm{B}}=R_{\mathrm{A}}+d
$$

当 $\boldsymbol{c}<<\boldsymbol{R}_{\mathbf{A}}$ 时 $\ln \frac{R_B}{R_A}=\ln \frac{R_A+d}{R_A}=\ln \left(1+\frac{d}{R_A}\right) \approx \frac{d}{R_A}$

$$
C \approx \frac{2 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r l R_A}{d}=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d} \quad\left(S=2 \pi l R_{\mathrm{A}}\right)
$$

计算电容器电容的步骤:
1、设电容器两极分别带电为 $\pm Q$
2、计算极板间的场强 $E$ （一般用高斯定理）
3、计算极板间的电势差 $\quad \Delta V=\int_A^B \vec{E} \cdot d \vec{l}$
4、由电容器电容定义计算 $C \quad C=\frac{q}{\Delta V}$
5、分析结果. $C$ 只与电容的本身性质有关, 与带电性质无关
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