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复习2：几个常见的分布

## 分布函数的定义
 
给定一个随机变量 $X$ ，对任意实数 $x \in(-\infty,+\infty)$ 称函数 $F(x)=P(X \leq x)$ 为随机变量 $X$ 的分布函数. 对任意满足条件 $-\infty<a<b<+\infty$ 的实数 $a, b$ ，有 $P(a<X \leq b)=F(b)-F(a) .$ （此定义对离散和连续都适用）

（1） 非负性: $0 \leq F(x) \leq 1$.
（2） 规范性: $F(-\infty)=0, F(+\infty)=1$.
（3） 单调不减性: 对于任意 $x_1< x_2 $, 有 $F\left(x_1\right) \leq F\left(x_2\right)$.
（4） 右连续性: $F\left(x_0+0\right)=F\left(x_0\right)$.

## 密度函数的性质

(1) 非负性: $f(x) \geq 0(-\infty< x < +\infty)$.
(2) 规范性: $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=1$.
(3) 对于任意实数 $a$ 和 $b(a < b )$, 有 $P\{a < X \leq b\}=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$.
(4) 对于连续型随机变量 $X$, 有 $P\{X=x\}=0$, 对 $\forall x \in R$ 成立.
(5) 连续型随机变量的分布函数 $F(x)$ 是连续函数.
(6) 在 $f(x)$ 的连续点处, 有 $F^{\prime}(x)=f(x)$.

## 离散型 
 
###  0-1 分布 $X \sim B(1, p)$

$$
\begin{aligned}
& P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k},(k=0,1) . \\
& E X=p, \quad D X=p(1-p) .
\end{aligned}
$$

###  二项分布 $X \sim B(n, p)$

$$
\begin{aligned}
& P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k},(k=0,1, \cdots, n) . \\
& E X=n p, \quad D X=n p(1-p) .
\end{aligned}
$$
0-1分布可以认为是二项分布里，$n=1$的特殊情况。
服从 0-1 分布. 又称 Bernoulli伯努利分布.在实际生活里，检查产品质量是否合格，电力是否超负荷，抛硬币等服从 0-1 分布。

###  Poisson 泊松分布 $X \sim P(\lambda)(\lambda>0)$

$$
\begin{aligned}
& P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda},(k=0,1,2 \cdots) . \\
& E X=\lambda, \quad D X=\lambda .
\end{aligned}
$$

###  几何分布 $X \sim G(p)$
 
$$
\begin{aligned}
& P(X=k)=p(1-p)^{k-1},(0< p < 1 , k=1,2, \cdots) . \\
& E X=\frac{1}{p}, \quad D X=\frac{1-p}{p^2} .
\end{aligned}
$$
 
 > 几何分布是具有无记忆性的离散分布.

###   超几何分布 $X \sim H(N, M, n)$

$$
P(X=k)=\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},(k=0,1, \cdots, \min \{n, M\}) .
$$

##  连续型

###  均匀分布 $X \sim U(a, b)$

$$
\begin{aligned}
& f(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a}, & a< x < b, \\
0, & \text { 其他. }\end{cases} \\
& E X=\frac{a+b}{2}, D X=\frac{(b-a)^2}{12} \text {. } \\
&
\end{aligned}
$$

###  指数分布 $X \sim E(\lambda)(\lambda>0)$

$$
\begin{aligned}
& f(x)= \begin{cases}\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x>0, \\
0, & \text { 其他. }\end{cases} \\
& E X=\frac{1}{\lambda}, \quad D X=\frac{1}{\lambda^2} .
\end{aligned}
$$

> 指数分布具有无记忆性的连续分布.

### 正态分布

①一般正态分布 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$

$$
\begin{aligned}
& f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}},(-\infty < x < +\infty, \sigma > 0 ) . \\
& E X=\mu, \quad D X=\sigma^2 .
\end{aligned}
$$

② 标准正态分布 $X \sim N(0,1)$

$$
\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}(-\infty< x < +\infty) .
$$
 
(2)正态分布的性质:
$\Phi(-x)=1-\Phi(x) ; \Phi(0)=\frac{1}{2} ; P\{|X| \leq a\}=2 \Phi(a)-1$.

### 上 $\alpha$ 分位点

设 $X \sim N(0,1)$, 对于给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$, 如果 $u_\alpha$ 满足条件:

$$
P\left\{X>u_\alpha\right\}=\alpha
$$

则称 $u_\alpha$ 为标准正态分布的上 $\alpha$ 分位点.

(3)**标准正态分布与一般正态分布的关系**
正态分布 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 通过线性变换 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ 变为标准正态分布.

> 记住常用的积分结果

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2} / 2} \mathrm{~d} x=\sqrt{2 \pi}
$$

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