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复习3:一维随机变量和分布

## 离散型

问题: 若 $P\left(X=x_i\right)=p_i, Y=g(X)$, 求 $Y$ 的分布律. <br />
方法: $P\left(Y=y_j\right)=\sum_{g\left(x_i\right)=y_i} P\left(X=x_i\right)$. <br />

## 连续型

问题: $X \sim f_X(x), Y=g(X)$, 求 $Y$ 的分布密度.<br />
方法：分布函数法<br />

$$
\begin{aligned}
& F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(g(X) \leq y)=\int_{g(x) \leq y} f_X(x) \mathrm{d} x, \\
& f_Y(y)=F_Y^{\prime}(y) .
\end{aligned}
$$

## 联合分布

(1) 定义

$$
F(x, y)=P\{X \leq x, Y \leq y\}(-\infty< x <+\infty,-\infty < y < +\infty)
$$

称为二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数, 它表示随机事件 $\{X \leq x\}$ 与 $\{Y \leq y\}$ 同时发 生的概率.
(2) 性质

1) 非负性: 对于任意实数 $x, y \in R, 0 \leq F(x, y) \leq 1$.
2) 规范性:

$$
\begin{aligned}
& F(-\infty, y)=\lim _{x \rightarrow-\infty} F(x, y)=0, \quad F(x,-\infty)=\lim _{y \rightarrow-\infty} F(x, y)=0, \\
& F(-\infty,-\infty)=\lim _{\substack{x \rightarrow-\infty \\
y \rightarrow-\infty}} F(x, y)=0, \quad F(+\infty,+\infty)=\lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\
y \rightarrow+\infty}} F(x, y)=1 .
\end{aligned}
$$

3) 单调不减性: $F(x, y)$ 分别关于 $x$ 和 $y$ 单调不减.
4) 右连续性: $F(x, y)$ 分别关于 $x$ 和 $y$ 具有右连续性, 即

$$
F(x, y)=F(x+0, y), F(x, y)=F(x, y+0), x, y \in \mathrm{R} .
$$

## 二维离散型随机变量及其分布

（1）二维离散型随机变量的定义 若二维随机变量 $(X, Y)$ 可能的取值为有限对或可列无穷多对实数, 则称 $(X, Y)$ 为二 维离散型随机变量.
(2) 联合分布律

$$
\begin{aligned}
& P\left(X=x_i, Y=y_j\right\}=p_{i j},(i, j=1,2, \cdots), \\
& p_{i j} \geq 0 ; \\
& \sum_{i=1}^{+\infty} \sum_{j=1}^{+\infty} p_{i j}=1 .
\end{aligned}
$$

(3) 边缘分布律

$$
\begin{aligned}
& P\left\{X=x_i\right\}=\sum_{j=1}^{+\infty} P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=\sum_{j=1}^{+\infty} p_{i j}=p_{i .}(i=1,2, \cdots), \\
& P\left\{Y=y_i\right\}=\sum_{i=1}^{+\infty} P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=\sum_{i=1}^{+\infty} p_{i j}=p_{\cdot j}(j=1,2, \cdots) .
\end{aligned}
$$

(4) 条件分布律
对于给定的 $j$, 若 $P\left\{Y=y_j\right\}>0(j=1,2, \cdots)$, 则称

$$
P\left\{X=x_i \mid Y=y_j\right\}=\frac{P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}}{P\left\{Y=y_j\right\}}=\frac{p_{i j}}{p_{\cdot j}}, i=1,2, \cdots
$$

为在 $Y=y_j$ 的条件下随机变量 $X$ 的条件概率分布;
对于给定的 $i$, 如果 $P\left\{X=x_i\right\}>0(i=1,2, \cdots)$, 则称

$$
P\left\{Y=y_j \mid X=x_i\right\}=\frac{P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}}{P\left\{X=x_i\right\}}=\frac{p_{i j}}{p_{i .}}, j=1,2, \cdots
$$

为在 $X=x_i$ 的条件下随机变量 $Y$ 的条件概率分布.

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