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复习4:二维随机变量与分布

## 二维连续型随机变量及其分布
(1) 定义   
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$, 如果存在非负可积的二元函数 $f(x, y)$, 使得对任意实数 $x, y$, 有 $F(x, y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$, 则称 $(X, Y)$ 为二维连 续型随机变量, 称函数 $f(x, y)$ 为二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数或联合密度函数.   
(2) 性质   
1) $f(x, y) \geq 0(-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty)$;   
2) $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$;   
3) 设 $D$ 是 $x O y$ 平面上任一区域, 则点 $(x, y)$ 落在 $D$ 内的概率为:

$$
P\{(X, Y) \in D\}=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma ;
$$

4) 若 $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处连续, 则有 $f(x, y)=\frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y}$.

(3) 边缘密度函数     
$$
f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y ; \quad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x .
$$
(4) 条件密度函数          
当 $f_Y(y)>0$ 时, 称 $f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_Y(y)}$ 为在条件 $Y=y$ 下 $X$ 的条件密度函数;     
当 $f_X(x)>0$ 时, 称 $f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_X(x)}$ 为在条件 $X=x$ 下 $Y$ 的条件密度函数.

## 02常见的二维连续型分布
   (1) 二维均匀分布     
1) 定义    
设 $G$ 是平面上有界可求面积的区域, 其面积为 $|G|$, 若二维随机变量 $(X, Y)$ 具有密度函 数    
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{|G|}, & (x, y) \in G, \\ 0, & (x, y) \notin G\end{cases}
$$
则称 $(X, Y)$ 在区域 $G$ 上服从二维均匀分布.    
2) 性质        
若 $(X, Y)$ 在各边平行于坐标轴的矩形区域 $D=\{(x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}$ 上服从    
二维均匀分布, 则它的两个分量 $X$ 和 $Y$ 是独立的, 并且分别服从区间 $[a, b],[c, d]$ 上的    
一维均匀分布.        
（2）二维正态分布    
1) 定义    
如果二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为

$$
        \begin{aligned}
f(x, y)= & \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{\frac { - 1 } { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } \left[\frac{\left(x-\mu_1\right)^2}{\sigma_1^2}-\right.\right. \\
& \left.\left.\frac{2 \rho\left(x-\mu_1\right)\left(y-\mu_2\right)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{\left(y-\mu_2\right)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}(-\infty < x < +\infty,-\infty < y < + \infty)
\end{aligned}
    $$

其中 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1>0, \sigma_2>0,-1<\rho<1$ 均为常数, 则称 $(X, Y)$ 服从参数为 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2$ 和 $\rho$ 的二维正态分布, 记作 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2 ; \sigma_1^2, \sigma_2^2 ; \rho\right)$.          
2) 性质     
(1) $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), \quad Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$;     
(2) $X$ 与 $Y$ 独立的充分必要条件是 $\rho=0$;     
(3) $X$ 与 $Y$ 的非零线性组合服从一维正态分布, 且     
当 $X$ 与 $Y$ 不独立时,     
$$
k_1 X+k_2 Y \sim N\left(k_1 \mu_1+k_2 \mu_2, k_1^2 \sigma_1^2+k_2^2 \sigma_2^2+2 k_1 k_2 \rho \sigma_1 \sigma_2\right) ;
$$
当 $X$ 与 $Y$ 独立时，
$$
k_1 X+k_2 Y \sim N\left(k_1 \mu_1+k_2 \mu_2, k_1^2 \sigma_1^2+k_2^2 \sigma_2^2\right) .
$$
              
(4) 若 $\left(X_1, X_2\right)$ 服从二维正态分布, 且行列式 $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right| \neq 0$, 则 $\left(a X_1+b X_2, c X_1+d X_2\right)$ 也服从二维正态分布.

## 03随机变量的独立性
 
(1) 定义   
1) 对于任意实数 $x$ 和 $y$ 有: $F(x, y)=F_X(x) F_Y(y)$, 则称 $X$ 和 $Y$ 相互独立;   
2) 对于任意 $i, j=1,2, \cdots$ 有: $P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=P\left\{X=x_i\right\} P\left\{Y=y_j\right\}$, 则称二维 离散型随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立;   
3) 对于任意实数 $x$ 和 $y$ 有: $f(x, y)=f_X(x) f_Y(y)$, 则称二维连续型随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立.   
（2）性质      
      
1) 若 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $f(x)$ 和 $g(x)$ 为连续函数, 则 $f(X)$ 与 $g(Y)$ 也相互独立;   
2) 若 $X_1, X_2 \cdots X_n, Y_1, Y_2 \cdots Y_m$ 相互独立, $f(\cdot)$ 为 $n$ 元连续函数和 $g(\cdot)$ 为 $m$ 元连续函   
数, 则 $f\left(X_1, X_2 \cdots X_n\right)$ 与 $g\left(Y_1, Y_2 \cdots Y_m\right)$ 也相互独立.

15. 两个随机变量简单函数的概率分布    
(1) 离散型    
已知 $(X, Y)$ 的概率分布为    
$$
P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=p_{i j}, i, j=1,2, \cdots
$$
则 $Z=g(X, Y)$ 的分布律为    
$$
P\left(Z=z_k\right)=P\left\{g(X, Y)=z_k\right\}=\sum_{g\left(x_i, y_j\right)=z_k} P\left(X=x_i, Y=y_j\right) .
$$        
(2) 连续型    
1) 一般方法 (分布函数法)    
设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)$, 则随机变量 $Z=g(X, Y)$ 的分    
布函数和概率密度为    
$$
\begin{aligned}
& F_Z(z)=P\{Z \leq z\}=P\{g(X, Y) \leq z\}=\iint_{g(x, y) \leq z} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \\
& f_Z(z)=F_Z^{\prime}(z) .
\end{aligned}
$$        
2) 公式法 (卷积公式)    
设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)$, 则随机变量 $Z=X+Y$ 的密
度函数为    
$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \mathrm{d} x \text { 或 } f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y) \mathrm{d} y .
$$
若 $X$ 与 $Y$ 独立, 则
$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \mathrm{d} x \text { 或 } f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y) f_Y(y) \mathrm{d} y .
$$
这个公式称为独立和卷积公式.

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