最后更新: 2025-05-17 18:39 查看: 310 次纠错评论(0) 课件开VIP

复习4:二维随机变量与分布的求法

## 二维离散型随机变量及其分布

（1）二维离散型随机变量的定义 若二维随机变量 $(X, Y)$ 可能的取值为有限对或可列无穷多对实数, 则称 $(X, Y)$ 为二 维离散型随机变量.
(2) 联合分布律

$$
\begin{aligned}
& P\left(X=x_i, Y=y_j\right\}=p_{i j},(i, j=1,2, \cdots), \\
& p_{i j} \geq 0 ; \\
& \sum_{i=1}^{+\infty} \sum_{j=1}^{+\infty} p_{i j}=1 .
\end{aligned}
$$

(3) 边缘分布律

$$
\begin{aligned}
& P\left\{X=x_i\right\}=\sum_{j=1}^{+\infty} P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=\sum_{j=1}^{+\infty} p_{i j}=p_{i .}(i=1,2, \cdots), \\
& P\left\{Y=y_i\right\}=\sum_{i=1}^{+\infty} P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=\sum_{i=1}^{+\infty} p_{i j}=p_{\cdot j}(j=1,2, \cdots) .
\end{aligned}
$$

(4) 条件分布律
对于给定的 $j$, 若 $P\left\{Y=y_j\right\}>0(j=1,2, \cdots)$, 则称

$$
P\left\{X=x_i \mid Y=y_j\right\}=\frac{P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}}{P\left\{Y=y_j\right\}}=\frac{p_{i j}}{p_{\cdot j}}, i=1,2, \cdots
$$

为在 $Y=y_j$ 的条件下随机变量 $X$ 的条件概率分布;
对于给定的 $i$, 如果 $P\left\{X=x_i\right\}>0(i=1,2, \cdots)$, 则称

$$
P\left\{Y=y_j \mid X=x_i\right\}=\frac{P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}}{P\left\{X=x_i\right\}}=\frac{p_{i j}}{p_{i .}}, j=1,2, \cdots
$$

为在 $X=x_i$ 的条件下随机变量 $Y$ 的条件概率分布.

## 二维连续型随机变量及其分布
(1) 定义   
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$, 如果存在非负可积的二元函数 $f(x, y)$, 使得对任意实数 $x, y$, 有 $F(x, y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$, 则称 $(X, Y)$ 为二维连 续型随机变量, 称函数 $f(x, y)$ 为二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数或联合密度函数.   
(2) 性质   
1) $f(x, y) \geq 0(-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty)$;   
2) $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$;   
3) 设 $D$ 是 $x O y$ 平面上任一区域, 则点 $(x, y)$ 落在 $D$ 内的概率为:

$$
P\{(X, Y) \in D\}=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma ;
$$

4) 若 $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处连续, 则有 $f(x, y)=\frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y}$.

(3) 边缘密度函数     
$$
f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y ; \quad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x .
$$
(4) 条件密度函数          
当 $f_Y(y)>0$ 时, 称 $f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_Y(y)}$ 为在条件 $Y=y$ 下 $X$ 的条件密度函数;     
当 $f_X(x)>0$ 时, 称 $f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_X(x)}$ 为在条件 $X=x$ 下 $Y$ 的条件密度函数.

## 两个常见的二维连续型分布
   (1) 二维均匀分布     
1) 定义    
设 $G$ 是平面上有界可求面积的区域, 其面积为 $|G|$, 若二维随机变量 $(X, Y)$ 具有密度函 数    
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{|G|}, & (x, y) \in G, \\ 0, & (x, y) \notin G\end{cases}
$$
则称 $(X, Y)$ 在区域 $G$ 上服从二维均匀分布.    
2) 性质        
若 $(X, Y)$ 在各边平行于坐标轴的矩形区域 $D=\{(x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}$ 上服从    
二维均匀分布, 则它的两个分量 $X$ 和 $Y$ 是独立的, 并且分别服从区间 $[a, b],[c, d]$ 上的    
一维均匀分布.        
（2）二维正态分布    
1) 定义    
如果二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为    
$$\begin{aligned}
f(x, y)= & \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{\frac { - 1 } { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } \left[\frac{\left(x-\mu_1\right)^2}{\sigma_1^2}-\right.\right. \\
& \left.\left.\frac{2 \rho\left(x-\mu_1\right)\left(y-\mu_2\right)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{\left(y-\mu_2\right)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}(-\infty < x < +\infty,-\infty < y < + \infty)
\end{aligned}
$$
                  
  其中 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1>0, \sigma_2>0,-1<\rho<1$ 均为常数, 则称 $(X, Y)$ 服从参数为 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2$ 和 $\rho$ 的二维正态分布, 记作 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2 ; \sigma_1^2, \sigma_2^2 ; \rho\right)$.          
2) 性质     
(1) $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), \quad Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$;     
(2) $X$ 与 $Y$ 独立的充分必要条件是 $\rho=0$;     
(3) $X$ 与 $Y$ 的非零线性组合服从一维正态分布, 且     
当 $X$ 与 $Y$ 不独立时,     
$$
k_1 X+k_2 Y \sim N\left(k_1 \mu_1+k_2 \mu_2, k_1^2 \sigma_1^2+k_2^2 \sigma_2^2+2 k_1 k_2 \rho \sigma_1 \sigma_2\right) ;
$$
当 $X$ 与 $Y$ 独立时，
$$
k_1 X+k_2 Y \sim N\left(k_1 \mu_1+k_2 \mu_2, k_1^2 \sigma_1^2+k_2^2 \sigma_2^2\right) .
$$
              
(4) 若 $\left(X_1, X_2\right)$ 服从二维正态分布, 且行列式 $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right| \neq 0$, 则 $\left(a X_1+b X_2, c X_1+d X_2\right)$ 也服从二维正态分布.

## 随机变量的独立性
 
(1) 定义   
1) 对于任意实数 $x$ 和 $y$ 有: $F(x, y)=F_X(x) F_Y(y)$, 则称 $X$ 和 $Y$ 相互独立;   
2) 对于任意 $i, j=1,2, \cdots$ 有: $P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=P\left\{X=x_i\right\} P\left\{Y=y_j\right\}$, 则称二维 离散型随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立;   
3) 对于任意实数 $x$ 和 $y$ 有: $f(x, y)=f_X(x) f_Y(y)$, 则称二维连续型随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立.   
（2）性质      
      
1) 若 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $f(x)$ 和 $g(x)$ 为连续函数, 则 $f(X)$ 与 $g(Y)$ 也相互独立;   
2) 若 $X_1, X_2 \cdots X_n, Y_1, Y_2 \cdots Y_m$ 相互独立, $f(\cdot)$ 为 $n$ 元连续函数和 $g(\cdot)$ 为 $m$ 元连续函   
数, 则 $f\left(X_1, X_2 \cdots X_n\right)$ 与 $g\left(Y_1, Y_2 \cdots Y_m\right)$ 也相互独立.

## 两个随机变量简单函数的概率分布    
(1) 离散型    
已知 $(X, Y)$ 的概率分布为    
$$
P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=p_{i j}, i, j=1,2, \cdots
$$
则 $Z=g(X, Y)$ 的分布律为    
$$
P\left(Z=z_k\right)=P\left\{g(X, Y)=z_k\right\}=\sum_{g\left(x_i, y_j\right)=z_k} P\left(X=x_i, Y=y_j\right) .
$$        
(2) 连续型    
1) 一般方法 (分布函数法)    
设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)$, 则随机变量 $Z=g(X, Y)$ 的分    
布函数和概率密度为    
$$
\begin{aligned}
& F_Z(z)=P\{Z \leq z\}=P\{g(X, Y) \leq z\}=\iint_{g(x, y) \leq z} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \\
& f_Z(z)=F_Z^{\prime}(z) .
\end{aligned}
$$        
2) 公式法 (卷积公式)    
设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)$, 则随机变量 $Z=X+Y$ 的密
度函数为    
$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \mathrm{d} x \text { 或 } f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y) \mathrm{d} y .
$$
若 $X$ 与 $Y$ 独立, 则
$$
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \mathrm{d} x \text { 或 } f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y) f_Y(y) \mathrm{d} y .
$$
这个公式称为独立和卷积公式.

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：复习3:一维随机变量和分布的求法

下一篇：复习5:数学期望与方程

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)