最后更新: 2025-05-17 18:39 查看: 195 次反馈同步训练

复习4:二维随机变量与分布的求法

## 二维离散型随机变量及其分布

（1）二维离散型随机变量的定义 若二维随机变量 $(X, Y)$ 可能的取值为有限对或可列无穷多对实数, 则称 $(X, Y)$ 为二 维离散型随机变量.
(2) 联合分布律

$$
\begin{aligned}
& P\left(X=x_i, Y=y_j\right\}=p_{i j},(i, j=1,2, \cdots), \\
& p_{i j} \geq 0 ; \\
& \sum_{i=1}^{+\infty} \sum_{j=1}^{+\infty} p_{i j}=1 .
\end{aligned}
$$

(3) 边缘分布律

$$
\begin{aligned}
& P\left\{X=x_i\right\}=\sum_{j=1}^{+\infty} P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=\sum_{j=1}^{+\infty} p_{i j}=p_{i .}(i=1,2, \cdots), \\
& P\left\{Y=y_i\right\}=\sum_{i=1}^{+\infty} P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=\sum_{i=1}^{+\infty} p_{i j}=p_{\cdot j}(j=1,2, \cdots) .
\end{aligned}
$$

(4) 条件分布律
对于给定的 $j$, 若 $P\left\{Y=y_j\right\}>0(j=1,2, \cdots)$, 则称

$$
P\left\{X=x_i \mid Y=y_j\right\}=\frac{P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}}{P\left\{Y=y_j\right\}}=\frac{p_{i j}}{p_{\cdot j}}, i=1,2, \cdots
$$

为在 $Y=y_j$ 的条件下随机变量 $X$ 的条件概率分布;
对于给定的 $i$, 如果 $P\left\{X=x_i\right\}>0(i=1,2, \cdots)$, 则称

$$
P\left\{Y=y_j \mid X=x_i\right\}=\frac{P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}}{P\left\{X=x_i\right\}}=\frac{p_{i j}}{p_{i .}}, j=1,2, \cdots
$$

为在 $X=x_i$ 的条件下随机变量 $Y$ 的条件概率分布.

## 二维连续型随机变量及其分布
(1) 定义   
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$, 如果存在非负可积的二元函数 $f(x, y)$, 使得对任意实数 $x, y$, 有 $F(x, y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$, 则称 $(X, Y)$ 为二维连 续型随机变量, 称函数 $f(x, y)$ 为二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数或联合密度函数.   
(2) 性质   
1) $f(x, y) \geq 0(-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty)$;   
2) $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$;   
3) 设 $D$ 是 $x O y$ 平面上任一区域, 则点 $(x, y)$ 落在 $D$ 内的概率为:

$$
P\{(X, Y) \in D\}=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma ;
$$

4) 若 $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处连续, 则有 $f(x, y)=\frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y}$.

(3) 边缘密度函数     
$$
f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y ; \quad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x .
$$
(4) 条件密度函数          
当 $f_Y(y)>0$ 时, 称 $f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_Y(y)}$ 为在条件 $Y=y$ 下 $X$ 的条件密度函数;     
当 $f_X(x)>0$ 时, 称 $f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_X(x)}$ 为在条件 $X=x$ 下 $Y$ 的条件密度函数.

## 两个常见的二维连续型分布
   (1) 二维均匀分布     
1) 定义    
设 $G$ 是平面上有界可求面积的区域, 其面积为 $|G|$, 若二维随机变量 $(X, Y)$ 具有密度函 数    
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{|G|}, & (x, y) \in G, \\ 0, & (x, y) \notin G\end{cases}
$$
则称 $(X, Y)$ 在区域 $G$ 上服从二维均匀分布.    
2) 性质        
若 $(X, Y)$ 在各边平行于坐标轴的矩形区域 $D=\{(x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}$ 上服从    
二维均匀分布, 则它的两个分量 $X$ 和 $Y$ 是独立的, 并且分别服从区间 $[a, b],[c, d]$ 上的    
一维均匀分布.        
（2）二维正态分布    
1) 定义    
如果二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为    
$$\begin{aligned}
f(x, y)= & \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{\frac { - 1 } { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } \left[\frac{\left(x-\mu_1\right)^2}{\sigma_1^2}-\right.\right. \\
& \left.\left.\frac{2 \rho\left(x-\mu_1\right)\left(y-\mu_2\right)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{\left(y-\mu_2\right)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}(-\infty < x < +\infty,-\infty < y < + \infty)
\end{aligned}
$$

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