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复习5:数学期望与方程

## 关于随机变量 $X$ 的数学期望
设随机变量 $X$ 的分布律为 $P\left\{X=x_i\right\}=p_i(i=1,2, \cdots)$, 若级数 $\sum_{i=1} x_i p_i$ 绝对收敛, 则 称 $E X=\sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i$ 为随机变量 $X$ 的数学期望.    
(2) 连续型    
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$, 若积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收玫, 则称 $E X=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 为 $X$ 的数学期望.    
(3) 随机变量函数 $Y=g(X)$ 的期望    
设 $X$ 是一个随机变量, $g(x)$ 为连续实函数. 令 $Y=g(X)$        
1）离散型    
若 $X$ 的分布律为 $P\left\{X=x_i\right\}=p_i(i=1,2, \cdots)$, 则    
$$
E Y=E[g(X)]=\sum_{i=1}^{\infty} g\left(x_i\right) p_i .
$$
2) 连续型    
若 $X$ 的密度函数为 $f_X(x)$, 则    
$$
E Y=E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f_X(x) \mathrm{d} x
$$

17. 关于二维随机变量 $(X, Y)$ 的数学期望

(1) 离散型   
设 $(X, Y)$ 的概率分布为   
$$
P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=p_{i j}(i, j=1,2, \ldots),
$$
则   
$$
\begin{aligned}
& E X=\sum_i x_i p_{i .}=\sum_i \sum_j x_i p_{i j}, \\
& E Y=\sum_j y_j p_{. j}=\sum_i \sum_j y_i p_{i j} .
\end{aligned}
$$
(2) 连续型   
设 $(X, Y)$ 的联合概率密度为 $\varphi(x, y)$, 则   
        $$
        \begin{aligned}
& E X=\int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \\
& E Y=\int_{-\infty}^{+\infty} y f_Y(x) \mathrm{d} y=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
\end{aligned}
        $$

(3) 随机变量函数 $Z=g(X, Y)$ 的期望      
设 $(X, Y)$ 为二维随机变量, $g(x, y)$ 为二元连续实函数, 令 $Z=g(X, Y)$   
1）离散型   
若 $(X, Y)$ 的联合分布律为 $P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=p_{i j}, i, j=1,2, \cdots$ 则   
$$
E Z=E[g(X, Y)]=\sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} g\left(x_i, y_j\right) p_{i j}
$$
2) 连续型      
若 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $f(x, y)$, 则   
$$
E Z=E[g(X, Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$

## 02数学期望性质
(1) $E(C)=C, E(E X)=E X$;   
(2) $E(C X)=C E X$;   
(3) $E\left(k_1 X \pm k_2 Y\right)=k_1 E X \pm k_2 E Y$;   
(4) 若 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 则有 $E(X Y)=E X E Y$.      
19. 方差   
(1) 随机变量 $X$ 的方差定义   
设 $X$ 是一个随机变量, 如果 $E(X-E X)^2$ 存在, 则称 $D X=E(X-E X)^2$ 为 $X$ 的方   
差, 称 $\sqrt{D X}$ 为标准差或均方差.   
(2) 方差的计算公式   
$$
D X=E X^2-(E X)^2
$$
【注】解题时, 常用此公式计算 $E X^2=D X+(E X)^2$.   
（3）方差的性质

1) $D(C)=0, D[E(X)]=0, D[D(X)]=0$;   
2) $D(C X)=C^2 D X$;   
3) $D\left(C_1 X+C_2\right)=C_1^2 D(X)$;   
4) $D(X \pm Y)=D X+D Y \pm 2 \operatorname{cov}(X, Y)$;   
5) 若 $X, Y$ 相互独立, 则 $D(X \pm Y)=D X+D Y$.

20. 协方差   
(1) 定义   
$$
\operatorname{cov}(X, Y)=E[(X-E X)(Y-E Y)]
$$
(2) 计算公式   
$$
\operatorname{cov}(X, Y)=E X Y-E X E Y
$$
（3）性质   
1) $\operatorname{cov}(X, Y)=\operatorname{cov}(Y, X)$;
2) $\operatorname{cov}(X, X)=D X$;
3) $\operatorname{cov}(a X, b Y)=a b \operatorname{cov}(X, Y)$;
4) $\operatorname{cov}(X, C)=0$;
5) $\operatorname{cov}\left(k_1 X_1 \pm k_2 X_2, Y\right)=k_1 \operatorname{cov}\left(X_1, Y\right) \pm k_2 \operatorname{cov}\left(X_2, Y\right)$;
6) 若 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 则 $\operatorname{cov}(X, Y)=0$.

## 相关系数 
(1) 定义    
$$
\rho_{X Y}=\frac{\operatorname{cov}(X, Y)}{\sqrt{D X} \sqrt{D Y}}
$$
（2）相关系数的性质    
1) $\left|\rho_{X Y}\right| \leq 1$;    
2) $\left|\rho_{X Y}\right|=1 \Leftrightarrow P\{Y=a X+b\}=1(a \neq 0)$, 且    
          <div class="clear"></div>

当 $a>0$ 时, $\rho_{X Y}=1 ; a<0$ 时, $\rho_{X Y}=-1$.    
(3) 不相关的等价说法    
$$
\rho_{X Y}=0 \Leftrightarrow \operatorname{cov}(X, Y)=0 \Leftrightarrow E X Y=E X E Y \Leftrightarrow D(X \pm Y)=D X+D Y .
$$
(4) 不相关与独立的关系    
1) $X, Y$ 相互独立 $\Rightarrow X$ 与 $Y$ 不相关, 反之不成立;    
2) 若 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2 ; \sigma_1^2, \sigma_2^2 ; \rho\right)$, 则 $X$ 与 $Y$ 独立和 $X$ 与 $Y$ 不相关等价.

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