最后更新: 2024-03-27 14:38 查看: 212 次反馈同步训练

复习6：大数定律

## 切比雪夫不等式    
设随机变量 $X$ 的期望 $E X$, 方差 $D X$ 都存在, 则对任意 $\varepsilon>0$ 均有    
$$
P\{|X-E X| \geqslant \varepsilon\} \leqslant \frac{D X}{\varepsilon^2}
$$
或    
$$
P\{|X-E X|<\varepsilon\} \geqslant 1-\frac{D X}{\varepsilon^2} .
$$

## 大数定律    
(1) 依概率收敛    
对于随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 和常数 $a$, 如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$, 有    
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|X_n-a\right|<\varepsilon\right\}=1
$$    
则称随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 依概率收玫于 $a$, 记作 $X_n \stackrel{P}{\longrightarrow} a$.
        
(2) 切比雪夫大数定律    
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立, 数学期望 $E X_i$ 和方差 $D X_i$ 均存在, 且方差 $D X_i$ 有公共上界, 即存在常数 $C$, 使 $D X_i \leq C(i=1,2, \cdots)$, 则对于任意给定的正数 $\varepsilon$, 总有    
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E X_i\right|<\varepsilon\right\}=1
$$
            
【注】上式表明: 当 $n$ 很大时, 相互独立方差有公共上界的随机变量的平均值 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 依 概率收敛于其数学期望 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E X_i$.

(3) 伯努利大数定律   
设 $n_A$ 是 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的次数, $p$ 是事件 $A$ 在每次试验中发生的 概率. 则对于任意正数 $\varepsilon>0$, 有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\left|\frac{n_A}{n}-p\right|<\varepsilon\right\}=1 .
$$   
【注】上式表明: 当 $n$ 很大时, 随机事件 $A$ 发生的频率 $\frac{n

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