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概率论与数理统计
复习7:重要统计量
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2024-03-27 14:40
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复习7:重要统计量
(1) 样本均值 $$ \begin{gathered} \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \text { 观测值 } \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i . \\ E \bar{X}=\mu, D \bar{X}=\frac{\sigma^2}{n} . \end{gathered} $$ (2) 样本方差 $$ \begin{gathered} S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \text { 观测值为 } s^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2 . \\ E S^2=\sigma^2 . \end{gathered} $$ (3) 样本标准差 $$ S=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2} \text {, 观测值为 } s=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2} . $$ (4) 样本 $k$ 阶原点矩 $$ A_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k \text {, 观测值为 } a_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k, \quad(k=1,2, \cdots) \text {. } $$ 如果总体的 $X$ 的 $k$ 阶原点矩 $E X^k=\mu_k(k=1,2, \cdots)$ 存在, 则当 $n \rightarrow \infty$ 时有 $$ A_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k \stackrel{P}{\longrightarrow} E X^k,(k=1,2, \cdots) . $$ (5) 样本 $k$ 阶中心矩 $$ B_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^k \text {, 观测值为 } b_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^k, \quad(k=2,3, \cdots) $$ (6) 顺序统计量 设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本, 则统计量 $X_{(n)}=\max \left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 和 $X_{(1)}=\min \left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的分布函数分别为 $$ \begin{aligned} & F_{X_{(n)}}(x)=P\left\{\max \left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right) \leq x\right\}=[F(x)]^n, \\ & F_{X_{(0)}}(x)=P\left\{\min \left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right) \leq x\right\}=1-[1-F(x)]^n . \end{aligned} $$ <br />
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