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复习9:矩估计

## 29. 矩估计      
   
(1) 原理: 样本的 $k$ 阶原点矩依概率收敛于总体的 $k$ 阶原点矩.   
(2) 解题步骤 (待估参数为 $k$ 个 $\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k$ )   
(1) 求出总体的 $k$ 阶原点矩 $\mu_k=E X^k(k=1,2, \cdots)$;   
(2) 令样本的 $k$ 阶原点矩 $A_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k$ 等于总体的 $k$ 阶原点矩, 即令   
$$
E X^k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k(k=1,2, \cdots)
$$   
(3) 解上面的方程方程组, 得 $\theta_i$ 的矩估计量为 $\hat{\theta}_i\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$, 则 $\theta_i$ 的矩估计 值为 $\hat{\theta}_i\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$.   
【注】当待估参数为 1 个时, 通常令 $E X=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 即可解得 $\theta$ 的矩估计量与相应的 矩估计值.

30. 最大似然估计法     
(1) $X$ 为连续型随机变量 设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x ; \theta), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为取自 $X$ 的样本, 则

$$
L\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta\right)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i ; \theta\right)
$$
称为似然函数, $L\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta\right)$ 关于 $\theta$ 的最大值点 $\hat{\theta}$, 称为 $\theta$ 的最大似然估计.    
(2) $X$ 为离散型随机变量    
设总体 $X$ 的分布律 $P\left\{X=a_i\right\}=p\left(a_i ; \theta\right), i=1,2, \cdots, X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为取自 $X$ 的样本, 则 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的联合分布律    
$$
L\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta\right)=\prod_{i=1}^n p\left(x_i ; \theta\right), x_i \text { 为 } a_i(i=1,2, \cdots) \text { 中的某一个数 }    
$$    
称为似然函数, $L\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta\right)$ 关于 $\theta$ 的最大值点 $\hat{\theta}$, 称为 $\theta$ 的最大似然估计.    
    【注】上面 (1), (2) 中的 $\theta$ 可以是多个待估参数 $\left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k\right)$.

(3) 最大似然估计的解题步骤 (待估参数为 $k$ 个 $\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k$ )         
(1) 写出似然函数         
$$
\begin{aligned}
& (离散型)  L\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k\right)=\prod_{i=1}^n p\left(x_i ; \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k\right), \\
& (连续型)  L\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k\right)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i ; \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k\right)
\end{aligned}
$$
    
        
(2) 取对数 $\ln L$;         
(3) 若 $\ln L$ 对 $\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k$ 可微, 求偏导数 $\frac{\partial \ln L}{\partial \theta_i}, i=1,2, \cdots, k$; 判断方程组 $\frac{\partial \ln L}{\partial \theta_i}=0$ 是否有解. 若有解, 则其解即为所求最大似然估计; 若无解则要考虑极大似然估计的意 义 (使似然函数取得最大值), 此时, 估计值常在 $\theta_i$ 的边界点上达到.
          【注】对于只有一个末知参数只需将步骤(3)中求偏导变为一元函数求导即可.

31. 估计量的评选标准     
(1) 无偏性     
如果 $\theta$ 的估计量 $\hat{\theta}\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的数学期望 $E \hat{\theta}$ 存在, 且 $E \hat{\theta}=\theta$ 则称 $\hat{\theta}\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是末知参数 $\theta$ 的无偏估计量.     
（2）有效性

$\widehat{\theta}_1\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 和 $\widehat{\theta}_2\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 都是末知参数 $\theta$ 的无偏估计量, 若 $D\left(\widehat{\theta}_1\right) \leq D\left(\widehat{\theta}_2\right)$, 且至少对于某一个 $\theta \in \Theta$ 左式中的不等号成立, 则称 $\widehat{\theta}_1\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 比 $\widehat{\theta}_2\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 更有效.
(3) 一致性 (相合性)     
若对任意 $\varepsilon>0$, 有 $\lim _{n \rightarrow \infty} P(|\hat{\theta}-\theta|<\varepsilon)=1$, 则称 $\hat{\theta}$ 为 $\theta$ 的一致估计量.

32. 区间估计     
单正态总体的区间估计     
设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为随机样本, 样本均值为 $\bar{X}$, 样本方差为 $S^2$

![图片](/uploads/2024-03/6a3f1d.jpg)

33. 假设检验        
（1）假设检验的两类错误    
1) 第一类错误 (弃真错误)    
当 $H_0$ 为真时, 而样本值却落入了拒绝域, 选择拒绝原假设 $H_0$, 记犯此类错误的概 率 $\alpha$, 即    
$$
P\left\{\text { 否定 } H_0 \mid H_0 \text { 为真 }\right\}=\alpha \text {. }
$$
2) 第二类错误 (纳伪错误)

当 $H_0$ 为假时, 而样本值不在拒绝域, 选择接受原假设 $H_0$, 记犯此类错误的概率 $\beta$, 即
$$
P\left\{\text { 接受 } H_0 \mid H_0 \text { 为假 }\right\}=\beta \text {. }
$$
(2) 显著水平为 $\alpha$ 的单正态总体均值和方差的假设检验
       
        ![图片](/uploads/2024-03/80316b.jpg)

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