最后更新: 2024-03-27 14:53 查看: 230 次反馈同步训练

复习9:矩估计

## 29. 矩估计      
   
(1) 原理: 样本的 $k$ 阶原点矩依概率收敛于总体的 $k$ 阶原点矩.   
(2) 解题步骤 (待估参数为 $k$ 个 $\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k$ )   
(1) 求出总体的 $k$ 阶原点矩 $\mu_k=E X^k(k=1,2, \cdots)$;   
(2) 令样本的 $k$ 阶原点矩 $A_k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k$ 等于总体的 $k$ 阶原点矩, 即令   
$$
E X^k=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k(k=1,2, \cdots)
$$   
(3) 解上面的方程方程组, 得 $\theta_i$ 的矩估计量为 $\hat{\theta}_i\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$, 则 $\theta_i$ 的矩估计 值为 $\hat{\theta}_i\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$.   
【注】当待估参数为 1 个时, 通常令 $E X=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 即可解得 $\theta$ 的矩估计量与相应的 矩估计值.

30. 最大似然估计法     
(1) $X$ 为连续型随机变量 设总体 $X$ 的密度函数为 $f(x ; \theta), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为取自 $X$ 的样本, 则

$$
L\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta\right)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i ; \theta\right)
$$
称为似然函数, $L\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta\right)$ 关于 $\theta$ 的最大值点 $\hat{\theta}$, 称为 $\theta$ 的最大似然估计.    
(2) $X$ 为离散型随机变量    
设总体 $X$ 的分布律 $P\left\{X=a_i\right\}=p\left(a_i ; \theta\right), i=1,2, \cdots, X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为取自 $X$ 的样本, 则 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的联合分布律    
$$
L\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta\right)=\prod_{i=1}^n p\left(x_i ; \theta\right), x_i \text { 为 } a_i(i=1,2, \cdots) \text { 中的某一个数 }    
$$    
称为似然函数, $L\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta\right)$ 关于 $\theta$ 的最大值点 $\hat{\theta}$, 称为 $\theta$ 的最大似然估计.    
    【注】上面 (1), (2) 中的 $\theta$ 可以是多个待估参数 $\left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k\right)$.

(3) 最大似然估计的解题步骤 (待估参数为 $k$ 个 $\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k$ )         
(1) 写出似然函数         
$$
\begin{aligned}
& (离散型)  L\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k\right)=\prod_{i=1}^n p\left(x_i ; \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k\right), \\
& (连续型)  L\left(x_1, x_2, \cdots, x_n ; \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k\right)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i ; \theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k\right)
\end{aligned}
$$
    
        
(2) 取对数 $\ln L$;         
(3) 若 $\ln L$ 对 $\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_k$ 可微, 求偏导数 $\frac{\partial

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