最后更新: 2024-03-27 14:41 查看: 254 次反馈同步训练

复习8:三大分布

(1) $\chi^2$ 分布    
1) 典型模式   
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots X_n$ 相互独立, 且均服从标准正态分布 $N(0,1)$, 则随机变量 $\chi^2=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2$ 服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，记作 $\chi^2 \sim \chi^2(n)$.
2) $\chi^2$ 分布的性质   
设 $X \sim \chi^2\left(n_1\right), Y \sim \chi^2\left(n_2\right)$, 且 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 则 $X+Y \sim \chi^2\left(n_1+n_2\right)$.
3) $\chi^2$ 分布的数字特征   
$$
E \chi^2=n, D \chi^2=2 n \text {. }
$$

4) 上 $\alpha$ 分位点 $\chi_a^2(n)$   
设 $\chi^2 \sim \chi^2(n)$, 对于任给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$, 称满足条件 $P\left\{\chi^2>\chi_\alpha^2(n)\right\}=\alpha$ 的点 $\chi_a^2(n)$ 为 $\chi^2(n)$ 的上 $\alpha$ 分位点.
      
        
        (2) $t$ 分布   
1) 典型模式   
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim \chi^2(n)$, 且 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 则随机变量 $t=\frac{X}{\sqrt{Y / n}}$ 服从 自由度为 $n$ 的 $t$ 分布, 记作 $t \sim t(n)$.
2) 性质   
$t$ 分布的概率密度 $f(x)$ 是偶函数, 且有 $\lim _{n \rightarrow \infty} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}$, 即当 $n$ 充分大时, $t(n)$
分布近似于 $N(0,1)$ 分布.   
3) 上 $\alpha$ 分位点 $t_a(n)$<br />
        设 $t \sim t(n)$, 对于任给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$, 称满足条件 $P\left\{t>t_\alpha(n)\right\}=\alpha$ 的点 $t_\alpha(n)$ 为
$t(n)$ 的上 $\alpha$ 分位点.

(3) $F$ 分布   
1) 典型模式   
设随机变量 $X \sim \chi^2(m), Y \sim \chi^2(n)$, 且 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 则随机变量 $F=\frac{X / m}{Y / n}$ 服
从自由度为 $(m, n)$ 的 $F$ 分布, 记作 $F \sim F(m, n)$.   
2) 性质   
若 $F \sim F(m, n)$, 则 $\frac{1}{F} \sim F(n, m)$.   
3) 上 $\alpha$ 分位点 $F_\alpha(m, n)$   
设 $F \sim F(m, n)$, 对于任给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$, 称满足条件 $P\left\{F>F_\alpha(m, n)\right\}=\alpha$ 的点
$F_\alpha(m, n)$ 为 $F(m, n)$ 的上 $\alpha$ 分位点.

27. 一个正态总体的抽样分布     
设

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