最后更新: 2025-06-01 04:58 查看: 503 次反馈同步训练

复习2:渐近线、曲率与积分

## 渐近线
点击查看 [渐近线在线教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=309)

### 水平渐近线
若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b$ 或 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=b$, 则 $y=b$ 为函数 $y=f(x)$ 的水平渐近线.
### 垂直渐近线
若 $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=\infty$ 或 $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=\infty$, 则 $x=x_0$ 为函数 $y=f(x)$ 的垂直渐近线.

### 斜渐近线 
若 $k=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}, b=\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-k x]$ (或 $k=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x}, b=\lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-k x]$ ), 则 直线 $y=k x+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的斜渐近线.

## 曲率（数一数二）
点击查看[曲率在线教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=313)

直角坐标下，曲线 $y=f(x)$ 二阶可导，则曲率

$k=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$;

曲线由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ 确定, $\varphi(t), \psi(t)$ 二阶可导, 则曲率 $k=\frac{\left|\varphi^{\prime}(t) \psi^{\prime \prime}(t)-\varphi^{\prime \prime}(t) \psi^{\prime}(t)\right|}{\left[\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)\right]^{\frac{3}{2}}}$.

**曲率半径** 
$R=\frac{1}{k}(k \neq 0)$.

## 变限积分求导（难点）
若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, $\varphi(x), \psi(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 则
$$
\left(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t) \mathrm{d} t\right)_x^{\prime}=f[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x)-f[\psi(x)] \cdot \psi^{\prime}(x) .
$$

#### 典型例题
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_x^{2 x} e^{t^2} d t}{x}$ 。
【解】令函数 $f(x)=\int_x^{2 x} e^{t^2} d t$ ，则函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，运用洛必达法则 (L'Hôpital's rule)则有
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_x^{2 x} e^{t^2} d t}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x^{\prime}}=\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)
$$

这是一个典型的变限积分函数的求导，根据变限积分函数求导公式可得
$$
f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} \int_x^{2 x} e^{t^2} d t=e^{(2 x)^2}(2 x)^{\prime}-e^{x^2}(x)^{\prime}=2 e^{4 x^2}-e^{x^2}
$$

则有 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_x^{2 x} e^{t^2} d t}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} 2 e^{4 x^2}-e^{x^2}=1$ 。

### 扩展: 变限积分复合函数导数
【情形一】 $F(x)=\int_a^x g(x) f(t) d t$
对于【情形一】，由于积分变量为 $t$ ，可将函数 $g(x)$ 提出到积分前面，则有 $F(x)=g(x) \cdot \int_a^x f(t) d t$ ，即原有的式子可变为 $g(x)$ 与 $\int_a^x f(t) d t$ 两项之积。

根据求导基本法则中的乘法法则可知，函数 $F(x)=f(x) \cdot g(x)$ 的导数为 $F(x)=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)$ ，则有
$$
F^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) \cdot \int_a^x f(t) d t+g(x) \cdot\left(\int_a^x f(t) d t\right)^{\prime}=g^{\prime}(x) \int_a^x f(t) d t+g(x) f(x) 。
$$

【例】已知函数 $F(x)=\int_

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