最后更新: 2025-06-01 04:59 查看: 356 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

复习3:曲线、曲面与旋转体

## 曲线积分
### 对弧长的线积分 (第一类线积分)
### 定义
第一类曲线积分计算的是密度不均匀曲线质量。**与积分路径方向无关**， 点击在线学习[第一类曲线积分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=415)

###  计算
对弧长的线积分计算常用的有以下两种方法：
**(1) 直接法**
① 若曲线 $L$ 用参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}, a \leqslant t \leqslant \beta\right.$, 则

$ l=\int_\alpha^\beta \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t $.

②若曲线 $L$ 用直角坐标 $y=y(x), a \leqslant x \leqslant b$ 表示,则

$ l=\int_a^b \sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x$.

③若曲线 $L$ 用极坐标方程 $\rho=\rho(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta$ 给出, 则

$\rho=\rho(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta, l=\int_\alpha^\beta \sqrt{\rho^2(\theta)+\rho^{\prime 2}(\theta)} \mathrm{d} \theta$.

**（2）利用奇偶性和对称性**

①利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性

若积分曲线 $L$ 关于 $y$ 轴对称, 且被积函数 $f(x, y)$ 关于 $x$ 有奇偶性, 则
$$
 \int_{L} f(x, y) d s = \left\{\begin{array}{c}
2 \int_{L_1} f(x, y) d s \text {, 当 } f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为偶函数 } \\
0, \text { 当 } f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为奇函数 }
\end{array}\right.
$$

其中 $L_1$ 为 $L$ 在 $y$ 轴右侧的部分.
若积分曲线 $L$ 关于 $x$ 轴对称, 且被积函数 $f(x, y)$ 关于 $y$ 有奇偶性, 则
$$
 \int_{L} f(x, y) d s = =\left\{\begin{array}{c}
2 \int_{L_1} f(x, y) d s, \text { 当 } f(x, y) \text {

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