最后更新: 2025-06-01 04:59 查看: 297 次反馈同步训练

复习3:曲线、曲面与旋转体

## 曲线积分
### 对弧长的线积分 (第一类线积分)
### 定义
第一类曲线积分计算的是密度不均匀曲线质量。**与积分路径方向无关**， 点击在线学习[第一类曲线积分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=415)

###  计算
对弧长的线积分计算常用的有以下两种方法：
**(1) 直接法**
① 若曲线 $L$ 用参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}, a \leqslant t \leqslant \beta\right.$, 则

$ l=\int_\alpha^\beta \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t $.

②若曲线 $L$ 用直角坐标 $y=y(x), a \leqslant x \leqslant b$ 表示,则

$ l=\int_a^b \sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x$.

③若曲线 $L$ 用极坐标方程 $\rho=\rho(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta$ 给出, 则

$\rho=\rho(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta, l=\int_\alpha^\beta \sqrt{\rho^2(\theta)+\rho^{\prime 2}(\theta)} \mathrm{d} \theta$.

**（2）利用奇偶性和对称性**

①利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性

若积分曲线 $L$ 关于 $y$ 轴对称, 且被积函数 $f(x, y)$ 关于 $x$ 有奇偶性, 则
$$
 \int_{L} f(x, y) d s = \left\{\begin{array}{c}
2 \int_{L_1} f(x, y) d s \text {, 当 } f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为偶函数 } \\
0, \text { 当 } f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为奇函数 }
\end{array}\right.
$$

其中 $L_1$ 为 $L$ 在 $y$ 轴右侧的部分.
若积分曲线 $L$ 关于 $x$ 轴对称, 且被积函数 $f(x, y)$ 关于 $y$ 有奇偶性, 则
$$
 \int_{L} f(x, y) d s = =\left\{\begin{array}{c}
2 \int_{L_1} f(x, y) d s, \text { 当 } f(x, y) \text { 关于 } y \text { 为偶函数 } \\
0, \text { 当 } f(x, y) \text { 关于 } y \text { 为奇函数 }
\end{array}\right.
$$

其中 $L_1$ 为 $L$ 在 $x$ 轴上侧的部分.

②利用变量的对称性

若曲线 $L$ 的方程中 $x$ 和 $y$ 对调方程不变, 则 $\int_L f(x, y) d s=\int_L f(y, x) d s$.

### 对坐标的线积分 (第二类线积分)
第二类曲线积分的目的是变力做功， **与积分路径的方向有关。**，正方向为逆时针方向，点击在线学习[第二类曲线积分】(https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=418)

### 计算
**（1）直接计算**
设平面光滑曲线段 $L:\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}, t \in[\alpha, \beta]\right.$ 或 $t \in[\beta, \alpha]$, 则

$$
\int_L P d x+Q d y=\int_\sigma^\beta\left[P(x(t), y(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t)) y^{\prime}(t)\right] d t,
$$

这里下限 $\alpha$ 对应 $L$ 的起点, 上限 $\beta$ 对应 $L$ 的终点.
**(2) 利用格林公式**
设闭区域 $D$ 由分段光滑曲线 $L$ 围成, $P(x, y)$ 及 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上有连续一阶偏导数,则

$$
\oint_L P d x+Q d y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y,
$$

其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线（所谓 $L$ 的正向是指人沿 $L$ 的某一方向前进时，区域 $D$ 始终在他左侧）。

**（3）补线用格林公式**
若要计算的线积分的积分曲线 $L(\overparen{A B})$ 不封闭, 但直接法计算也不方便. 此时可补一条曲线 $L_1(\over

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