最后更新: 2024-10-14 07:20 查看: 267 次反馈刷题

复习04:曲线、曲面与旋转体

## 曲线积分
### 对弧长的线积分 (第一类线积分)
### 定义
第一类曲线积分计算的是密度不均匀曲线质量。**与积分路径方向无关**， 点击在线学习[第一类曲线积分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=415)

###  计算
对弧长的线积分计算常用的有以下两种方法：
**(1) 直接法**
① 若曲线 $L$ 用参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}, a \leqslant t \leqslant \beta\right.$, 则

$ l=\int_\alpha^\beta \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t $.

②若曲线 $L$ 用直角坐标 $y=y(x), a \leqslant x \leqslant b$ 表示,则

$ l=\int_a^b \sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x$.

③若曲线 $L$ 用极坐标方程 $\rho=\rho(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta$ 给出, 则

$\rho=\rho(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta, l=\int_\alpha^\beta \sqrt{\rho^2(\theta)+\rho^{\prime 2}(\theta)} \mathrm{d} \theta$.

**（2）利用奇偶性和对称性**

①利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性

若积分曲线 $L$ 关于 $y$ 轴对称, 且被积函数 $f(x, y)$ 关于 $x$ 有奇偶性, 则
$$
 \int_{L} f(x, y) d s = \left\{\begin{array}{c}
2 \int_{L_1} f(x, y) d s \text {, 当 } f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为偶函数 } \\
0, \text { 当 } f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为奇函数 }
\end{array}\right.
$$

其中 $L_1$ 为 $L$ 在 $y$ 轴右侧的部分.
若积分曲线 $L$ 关于 $x$ 轴对称, 且被积函数 $f(x, y)$ 关于 $y$ 有奇偶性, 则
$$
 \int_{L} f(x, y) d s = =\left\{\begin{array}{c}
2 \int_{L_1} f(x, y) d s, \text { 当 } f(x, y) \text { 关于 } y \text { 为偶函数 } \\
0, \text { 当 } f(x, y) \text { 关于 } y \text { 为奇函数 }
\end{array}\right.
$$

其中 $L_1$ 为 $L$ 在 $x$ 轴上侧的部分.

②利用变量的对称性

若曲线 $L$ 的方程中 $x$ 和 $y$ 对调方程不变, 则 $\int_L f(x, y) d s=\int_L f(y, x) d s$.

### 对坐标的线积分 (第二类线积分)
第二类曲线积分的目的是变力做功， **与积分路径的方向有关。**，正方向为逆时针方向，点击在线学习[第二类曲线积分】(https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=418)

### 计算
**（1）直接计算**
设平面光滑曲线段 $L:\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}, t \in[\alpha, \beta]\right.$ 或 $t \in[\beta, \alpha]$, 则

$$
\int_L P d x+Q d y=\int_\sigma^\beta\left[P(x(t), y(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t)) y^{\prime}(t)\right] d t,
$$

这里下限 $\alpha$ 对应 $L$ 的起点, 上限 $\beta$ 对应 $L$ 的终点.
**(2) 利用格林公式**
设闭区域 $D$ 由分段光滑曲线 $L$ 围成, $P(x, y)$ 及 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上有连续一阶偏导数,则

$$
\oint_L P d x+Q d y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y,
$$

其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线（所谓 $L$ 的正向是指人沿 $L$ 的某一方向前进时，区域 $D$ 始终在他左侧）。

**（3）补线用格林公式**
若要计算的线积分的积分曲线 $L(\overparen{A B})$ 不封闭, 但直接法计算也不方便. 此时可补一条曲线 $L_1(\overparen{B A})$, 使原曲线变成封闭曲线, 则

$$
\int_{L(A B)} P d x+Q d y=\oint_{\left.L(\overparen{A B})+L_1 \overparen{B A B}\right)} P d x+Q d y-\int_{L_1(B A)} P d x+dd y .
$$

此时, 对等式右端第一项用格林公式, 第二项用直接法.

**(4) 利用线积分与路径无关**

这里有两个问题，首先是如何判定所要计算的线积分与路径无关；其次是如果要计算的线积分与路径无关, 此时如何计算.

计算与路径无关的线积分常用的有以下两种方法：
1) 改换路径: 通常取平行于坐标轴的折线.
定理 设 $P(x, y), Q(x, y)$ 在单连通域 $D$ 上有连续一阶偏导数, 则以下四条等价:

① 线积分与路径无关的判定
②$\oint_C P d x+Q d y=0$, 其中 $C$ 为 $D$ 中任一分段光滑闭曲线.
③ $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \forall(x, y) \in D$.
④ $P(x, y) d x+Q(x, y) d y= d F(x, y)$.
2) 与路径无关的线积分计算
① 改换路径: 通常取平行于坐标轴的折线. 
② 利用原函数: 设 $F(x, y)$ 是 $P d x+Q d y$ 的原函数, 即 $P d x+Q d y= d F(x, y)$, 则 $\int_{(A)}^{(B)} P d x+Q d y=$ $F\left(x_2, y_2\right)-F\left(x_1, y_1\right)$, 其中 $L$ 的起点为 $A\left(x_1, y_1\right)$, 终点为 $B\left(x_2, y_2\right)$.

## 曲面积分

### 直角坐标系 
如图 1 所示的面积为 $S_1=\int_a^b|f(x)-g(x)| \mathrm{d} x$.

在线阅读[X型积分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=404)

如图 2 所示的面积为 $S_2=\int_a^\beta|\varphi(y)-\psi(y)| \mathrm{d} y$.  
 ![图片](/uploads/2024-03/9ade9a.jpg)
 
 在线阅读[Y型积分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=405)

### 极坐标系
 ![图片](/uploads/2024-03/38f087.jpg)

$$ S=\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta\left[r_2^2(\theta)-r_1^2(\theta)\right] \mathrm{d} \theta .
$$

在线阅读[极坐标系积分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=406)

## 旋转体体积
平面图形由曲线 $y=y(x)$ 与直线 $x=a, x=b$ 和 $x$ 轴围成, 则 绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 $V_x=\pi \int_a^b y^2(x) \mathrm{d} x$. 绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 $V_y=2 \pi \int_a^b x|y(x)| \mathrm{d} x$.

在线阅读[三重积分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=411)

## 旋转体的侧面积
若平面图形由曲线 $y=y(x)$ 与直线 $x=a, x=b$ 和 $x$ 轴围成, 则图形绕 $x$ 轴旋转所 生成的旋转体的侧面积为
$$
S_{\text {侧 }}=2 \pi \int_a^b|f(x)| \sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x .
$$

## 质心行心公式
 ![图片](/uploads/2024-03/4ff953.jpg)
【注】密度均匀 (即密度为一常数 C) 的物体的质心即为形心

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