最后更新: 2025-06-01 05:00 查看: 290 次反馈同步训练

复习4:向量与梯度

## 向量代数

###  向量 $\boldsymbol{a}$ 的方向余弦
设向量的坐标表示为 $a=x i+y j+z k=(x, y, z)$.
$$
\cos \alpha=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \cos \beta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \cos \gamma=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} .
$$
           
### 数量积 (点积, 内积)
设 $\boldsymbol{a}=\left(x_1, y_1, z_1\right), \boldsymbol{b}=\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 则向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的数量积为
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos ( \widehat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}}) =x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2 
$$

### 量积 (叉积, 外积)
设两向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$, 若 $\exists$ 个向量 $\boldsymbol{c}$, 满足条件:    
(1) $|\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin (\widehat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}})$;
(2) $\boldsymbol{c} \perp \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \perp \boldsymbol{b}$, 即 $\boldsymbol{c}$ 垂直于 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 所确定的平面;
(3) $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 成右手系.
则向量 $\boldsymbol{c}$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的向量积, 记为 $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$, 利用坐标可表示为
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{lll}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}
y_1 & z_1 \\
y_2 & z_2
\end{array}\right| \boldsymbol{i}-\left|\begin{array}{cc}
x_1 & z_1 \\
x_2 & z_2
\end{array}\right| \boldsymbol{j}+\left|\begin{array}{ll}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2
\end{array}\right| \boldsymbol{k} .
$$

(4) 混合积
设有三个向量 $\boldsymbol{a}=\left(x_1, y_1, z_1\right), \boldsymbol{b}=\left(x_2, y_2, z_2\right), \boldsymbol{c}=\left(x_3, y_3, z_3\right)$, 先作 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的向量积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$, 再与 $\boldsymbol{c}$ 作数量积 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$, 则其称为 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 的混合积, 记为 $[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}]$, 利用坐标可 表示为
$$
[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}]=(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\left|\begin{array}{lll}
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
x_3 & y_3 & z_3
\end{array}\right| .
$$
   
【注】 $|[a, b, c]|$ 表示以 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 为棱的平行六面体体积, 注意不要忘记绝对值号.

## 直线与平面方程
           
### 平面方程   
一般式: $A x+B y+C z+D=0$.
点法式: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0$, 平面过 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 点, 法向量为
$$
\boldsymbol{n}=(A, B, C)
$$
截距式: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

### 空间直线方程   
一般式: $\left\{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0, \\ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0 \text {. }\end{array}\right.$

参数式: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+l t, \\ y=y_0+m t, \\ z=z_0+n t,\end{array}\right.$ 直线过 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 方向向量为 $s=(l, m, n)$.
标准式 (对称式): $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$, 过 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 方向向量为 $s=(l, m, n)$.

### 平面间、直线间、直线与平面间关系    
设平面 $\pi_1, \pi_2$, 直线 $L_1, L_2$ 方程如下:    
平面 $\pi_1: A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0, \quad \boldsymbol{n}_1=\left(A_1, B_1, C_1\right)$;
平面 $\pi_2: A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0, \quad n_2=\left(A_2, B_2, C_2\right)$;
直线 $L_1: \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}, \quad s_1=\left(l_1, m_1, n_1\right)$;
直线 $L_2: \frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}, \quad \boldsymbol{s}_2=\left(l_2, m_2, n_2\right)$.

#### 两平面 $\pi_1, \pi_2$ 间的位置关系    
(1) $\pi_1 / / \pi_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1 / / \boldsymbol{n}_2 \Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} \Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1 \times \boldsymbol{n}_2=\mathbf{0}$.

(2)$\pi_1 \perp \pi_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1 \perp \boldsymbol{n}_2 \Leftrightarrow A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2=0 \Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2=0$.    
(3) 平面 $\pi_1, \pi_2$ 间的夹角 $\theta\left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 为
$$
\cos \theta=\frac{\left|\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2\right|}{\left|\boldsymbol{n}_1\right|\left|\boldsymbol{n}_2\right|}=\frac{\left|A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2\right|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} .
$$
            
#### 两直线 $L_1, L_2$ 间的位置关系    
(1)$L_1 / / L_2 \Leftrightarrow s_1 / / \boldsymbol{s}_2 \Leftrightarrow \frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2} \Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1 \times \boldsymbol{s}_2=\mathbf{0}$    
(2) $L_1 \perp L_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1 \perp \boldsymbol{s}_2 \Leftrightarrow l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2=0 \Leftrighta

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