最后更新: 2025-03-18 10:19 查看: 263 次反馈刷题

复习5:向量与梯度

## 向量代数

###  向量 $\boldsymbol{a}$ 的方向余弦
设向量的坐标表示为 $a=x i+y j+z k=(x, y, z)$.
$$
\cos \alpha=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \cos \beta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \cos \gamma=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} .
$$
           
### 数量积 (点积, 内积)
设 $\boldsymbol{a}=\left(x_1, y_1, z_1\right), \boldsymbol{b}=\left(x_2, y_2, z_2\right)$, 则向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的数量积为
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos ( \widehat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}}) =x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2 
$$

### 量积 (叉积, 外积)
设两向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$, 若 $\exists$ 个向量 $\boldsymbol{c}$, 满足条件:    
(1) $|\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin (\widehat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}})$;
(2) $\boldsymbol{c} \perp \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \perp \boldsymbol{b}$, 即 $\boldsymbol{c}$ 垂直于 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 所确定的平面;
(3) $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 成右手系.
则向量 $\boldsymbol{c}$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的向量积, 记为 $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$, 利用坐标可表示为
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{lll}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}
y_1 & z_1 \\
y_2 & z_2
\end{array}\right| \boldsymbol{i}-\left|\begin{array}{cc}
x_1 & z_1 \\
x_2 & z_2
\end{array}\right| \boldsymbol{j}+\left|\begin{array}{ll}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2
\end{array}\right| \boldsymbol{k} .
$$

(4) 混合积
设有三个向量 $\boldsymbol{a}=\left(x_1, y_1, z_1\right), \boldsymbol{b}=\left(x_2, y_2, z_2\right), \boldsymbol{c}=\left(x_3, y_3, z_3\right)$, 先作 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的向量积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$, 再与 $\boldsymbol{c}$ 作数量积 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$, 则其称为 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 的混合积, 记为 $[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}]$, 利用坐标可 表示为
$$
[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}]=(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\left|\begin{array}{lll}
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
x_3 & y_3 & z_3
\end{array}\right| .
$$
   
【注】 $|[a, b, c]|$ 表示以 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 为棱的平行六面体体积, 注意不要忘记绝对值号.

## 直线与平面方程
           
### 平面方程   
一般式: $A x+B y+C z+D=0$.
点法式: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0$, 平面过 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 点, 法向量为
$$
\boldsymbol{n}=(A, B, C)
$$
截距式: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

### 空间直线方程   
一般式: $\left\{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0, \\ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0 \text {. }\end{array}\right.$

参数式: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+l t, \\ y=y_0+m t, \\ z=z_0+n t,\end{array}\right.$ 直线过 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 方向向量为 $s=(l, m, n)$.
标准式 (对称式): $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$, 过 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 方向向量为 $s=(l, m, n)$.

### 平面间、直线间、直线与平面间关系    
设平面 $\pi_1, \pi_2$, 直线 $L_1, L_2$ 方程如下:    
平面 $\pi_1: A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0, \quad \boldsymbol{n}_1=\left(A_1, B_1, C_1\right)$;
平面 $\pi_2: A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0, \quad n_2=\left(A_2, B_2, C_2\right)$;
直线 $L_1: \frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}, \quad s_1=\left(l_1, m_1, n_1\right)$;
直线 $L_2: \frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}, \quad \boldsymbol{s}_2=\left(l_2, m_2, n_2\right)$.

#### 两平面 $\pi_1, \pi_2$ 间的位置关系    
(1) $\pi_1 / / \pi_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1 / / \boldsymbol{n}_2 \Leftrightarrow \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} \Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1 \times \boldsymbol{n}_2=\mathbf{0}$.

(2)$\pi_1 \perp \pi_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1 \perp \boldsymbol{n}_2 \Leftrightarrow A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2=0 \Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2=0$.    
(3) 平面 $\pi_1, \pi_2$ 间的夹角 $\theta\left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 为
$$
\cos \theta=\frac{\left|\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2\right|}{\left|\boldsymbol{n}_1\right|\left|\boldsymbol{n}_2\right|}=\frac{\left|A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2\right|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} .
$$
            
#### 两直线 $L_1, L_2$ 间的位置关系    
(1)$L_1 / / L_2 \Leftrightarrow s_1 / / \boldsymbol{s}_2 \Leftrightarrow \frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2} \Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1 \times \boldsymbol{s}_2=\mathbf{0}$    
(2) $L_1 \perp L_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1 \perp \boldsymbol{s}_2 \Leftrightarrow l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2=0 \Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1 \cdot \boldsymbol{s}_2=\mathbf{0}$.    
(3) 直线 $L_1, L_2$ 间的夹角 $\theta\left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 为

$$
\cos \theta=\frac{\left|\boldsymbol{s}_1-\boldsymbol{s}_2\right|}{\left|\boldsymbol{s}_1\right|\left|\mathbf{s}_2\right|}=\frac{\left|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2\right|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2} \sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}} .
$$

### 直线 $L_1$ 与平面 $\pi_1$ 间的位置关系
(1) $L_1 / / \pi_1 \Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1 \perp \boldsymbol{n}_1 \Leftrightarrow A_1 l_1+B_1 m_1+C_1 n_1=0 \Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1 \cdot \boldsymbol{n}_1=0$.
(2) $L_1 \perp \pi_1 \Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1 / / \boldsymbol{n}_1 \Leftrightarrow \frac{A_1}{l_1}=\frac{B_1}{m_1}=\frac{C_1}{n_1} \Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1 \times \boldsymbol{n}_1=\mathbf{0}$.
(3) 直线 $L_1$ 与平面 $\pi_1$ 间的夹角 $\theta\left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 为
$$
\sin \theta=\frac{\left|\boldsymbol{s}_1 \cdot \boldsymbol{n}_1\right|}{\left|\boldsymbol{s}_1\right|\left|\boldsymbol{n}_1\right|}=\frac{\left|A_1 l_1+B_1 m_1+C_1 n_1\right|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2} \sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}} .
$$
 (4) 点到平面的距离      
点 $M\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 到平面 $A x+B y+C z+D=0$ 的距离
$$
d=\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} .
$$

## 旋转曲面
选择曲面类型是考研数学常考的题目，总结如下
1. 定义
以一条曲线绕一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴.
2. 常见二次曲面及其图形
(1) 椭圆锥面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$ ，如图 (a)。
(2) 椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图 (b).
(3) 单叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图 (c).
(4) 双叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$, 如图 (d).
(5) 椭圆抛物面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$, 如图 (e).
(6) 双曲抛物面 (马鞍面) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$, 如图 $(f)$.
(7) 椭圆柱面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 如图 (g).
(8) 双曲柱面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, 如图(h).
(9) 抛物柱面 $y^2=a x$, 如图 (i).
 ![图片](/uploads/2024-10/4036bd.jpg){width=500px}

$$
\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline \text { 二次曲面 } & \text { 标准方程 } & \text { 二次型 } f & \begin{array}{c}
\text { 正惯性 } \\
\text { 指数 }
\end{array} & \begin{array}{c}
\text { 负惯性 } \\
\text { 指数 }
\end{array} \\
\hline \text { 粗圆锥面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-z^2 & 2 & 1 \\
\hline \text { 椭球面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} & 3 & 0 \\
\hline

\hline \text { 单叶双曲面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} & 2 & 1 \\
\hline \text { 双叶双曲面 } & \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} & 1 & 2 \\
\hline \text { 椭圆柱面 } & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} & 2 & 0 \\
\hline \text { 双曲柱面 } & \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 & f=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} & 1 & 1 \\
\end{array}
$$
 
 
 ## 场论初步
 
 （1） 方向导数 
$$
\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=f_x\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0\right) \cos \beta .
$$

（2）梯度： $\operatorname{grad} u =\frac{\partial u}{\partial x} i+\frac{\partial u}{\partial y} j+\frac{\partial u}{\partial z} k$ ．
（3）散度：设有向量场 $A (x, y, z)=\{P, Q, R\}, \operatorname{div} A =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ ．
（4）旋度：设有向量场 $A (x, y, z)=\{P, Q, R\}, \operatorname{rot} A =\left|\begin{array}{lll} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R\end{array}\right|$ ，
（5）通量 
$$
\iint_{\Sigma} \vec{A} \bullet \vec{n} d S=\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d x d z+R d x d y
$$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：复习04:曲线、曲面与旋转体

下一篇：复习06:二重与三重积分

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)