最后更新: 2024-10-12 20:53 查看: 237 次反馈刷题

复习06:二重与三重积分

## 二重积分
点击查看[二重积分在线教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=403)
### (1) 选择坐标系    
直角坐标系下的二重积分表示: $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
极坐标系下的二重积分表示: $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$.
        
### (2) 二重积分的化简    
① 如果积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称, 则二重积分    
$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma= \begin{cases}0, & f(x,-y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y) .\end{cases}
$$
其中, $D_1$ 为 $D$ 在 $y \geq 0$ 的部分.

②如果积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称, 则二重积分
$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma= \begin{cases}0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y) .\end{cases}
$$
其中, $D_1$ 为 $D$ 在 $x \geq 0$ 的部分.

③如果 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称, 则
$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(y, x) \mathrm{d} \sigma=\frac{1}{2} \iint_D(f(x, y)+f(y, x)) \mathrm{d} \sigma .
$$

## 三重积分（数一）
点击查看[三重积分在线教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=410)
### (1) 选择坐标系    
直角坐标系下的三重积分表示:    
$$
\begin{aligned}
& \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iint_{D_{xy}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z \text { （先一后二) } \\
& \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\int_c^d \mathrm{~d} z \iint_{D_z} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \text { (先二后一) }
\end{aligned}
$$
柱坐标系下的三重积分表示:    
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta
$$
球坐标系下的三重积分表示:    
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^2 \sin \varphi \mathrm{d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{d} \theta .
$$
                
### (2) 三重积分的化简    
①若 $\Omega$ 关于 $x O y$ 面对称
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v= \begin{cases}0, & f(x, y,-z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_1} f(x, y, z) \mathrm{d} v, & f(x, y,-z)=f(x, y, z) .\end{cases}
$$
其中 $\Omega_1$ 是 $\Omega$ 在 $x O y$ 面上方部分, 关于 $y O z, x O z$ 面的对称性有类似的性质.    
② 轮换对称性    
如果积分区域关于变量 $x, y, z$ 具有轮换对称性 (即将表示积分区域的方程 $x$ 换成 $y$,    
        $y$换成 $z$ 或 $z$ 换成 $x$ 后表达式不变), 则
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(y, x, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(z, x, y) \mathrm{d} v .
$$

## 曲线积分化为定积分    
### (1) 若曲线 $L: y=\varphi(x), a \leq x \leq b$, 则
① 第一类曲线积分    
$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_a^b f[x, \varphi(x)] \sqrt{1+\left[\varphi^{\prime}(x)\right]^2} \mathrm{~d} x
$$
② 第二类曲线积分    
$$
\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_a^b\left\{P[x, \varphi(x)]+Q[x, \varphi(x)] \varphi^{\prime}(x)\right\} \mathrm{d} x .
$$

### (2) 若曲线
$L: x=x(t), y=y(t), z=z(t)\left\{\begin{array}{ll}a \leqslant t \leqslant \beta & \text { (第一类) } \\ t \text { 从 } \alpha \text { (起点)到 } \beta \text { (终点) } & \text { (第二类) }\end{array}\right.$ 段滑, 被积函数连续, 则
① 第一类曲线积分    
$$
\int_L f(x, y, z) \mathrm{d} s=\int_a^\beta f[x(t), y(t), z(t)] \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t .
$$
② 第二类曲线积分    
$$
\int_C P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_a^\beta\left[P(x(t), y(t), z(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t), z(t)) y^{\prime}(t)+R(x(t), y(t), z(t)) z^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t .
$$

##  第一类曲线积分的化简   
(1) 若 $L$ 关于 $y$ 轴对称, 则   
$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s= \begin{cases}0, & \text { 若 } f(-x, y)=-f(x, y), \\ 2 \int_{L_1} f(x, y) \mathrm{d}, & \text { 若 } f(-x, y)=f(x, y) .\end{cases}
$$
其中 $L_1$ 是 $L$ 在 $x$ 轴右方的部分；   
（2）若 $L$ 关于 $x$ 轴对称, 则   
$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s= \begin{cases}0, & \text { 若 } f(x,-y)=-f(x, y), \\ 2 \int_{L_1} f(x, y) \mathrm{d} s, & \text { 若 } f(x,-y)=f(x, y) .\end{cases}
$$
其中 $L_1$ 是 $L$ 在 $y$ 轴上方的部分。

(3)轮换对称性   
如果积分区域郑于变量 $x, y$ 具有轮换对称性 (即 $x$ 换成 $y, y$ 换成 $z$ ，其表达式不变)， 则
$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_L f(y, x) \mathrm{d} s=\frac{1}{2} \int_L[f(x, y)+f(y, x)] \mathrm{d} s .
$$

## 第一类曲面积分化为二重积分   
$S: z=z(x, y),(x, y) \in D_{x y}$ 分块光滑, $f(x, y, z)$ 在 $S$ 上连续, 则
$$
\iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{D_{x y}} f[x, y, z(x, y)] \sqrt{1+z_z^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}} \mathrm{~d} \sigma .
$$
向其余两个坐标面投影类似.

## 第二类曲面积分化为重积分        
(1) 若 $S: z=z(x, y),(x, y) \in D_{x y}$ 分块光滑, $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 连续, 则 $\iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y= \pm \iint_{D_{xy}}\left[P(x, y, z)\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right)+Q(x, y, z)\left(-\frac{\partial z}{\partial y}\right)+R(x, y, z)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 上式中, 曲面 $S$ 的方向为上侧时取 " + " , $S$ 的方向为下侧时取 " - ”

(2) 若 $S: y=y(x, z),(x, z) \in D_{xz}$ 分块光滑, $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 连续, 则 $\iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y= \pm \iint_{D_{xz}}\left[P(x, y, z)\left(-\frac{\partial y}{\partial x}\right)+Q(x, y, z)+R(x, y, z)\left(-\frac{\partial y}{\partial z}\right)\right] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x$, 上式中，曲面 $S$ 的方向为右侧取 “+”, $S$ 的方向为左侧取 “-”

(3) 若 $S: x=x(y, z),(y, z) \in D_{yz}$ 分块光滑, $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 连续, 则 $\iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y= \pm \iint_{D_{yz}}\left[P(x, y, z)+Q(x, y, z)\left(-\frac{\partial x}{\partial y}\right)+R(x, y, z)\left(-\frac{\partial x}{\partial z}\right)\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$,  上式中, 曲面 $S$ 的方向为前侧取 “+ ", $S$ 的方向为后侧取 “- ” .

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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