最后更新: 2025-06-01 05:01 查看: 276 次反馈同步训练

复习5:二重与三重积分

## 二重积分
### (1) 选择坐标系    
直角坐标系下的二重积分表示: $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
极坐标系下的二重积分表示: $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$.
        
### (2) 二重积分的化简    
① 如果积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称, 则二重积分    
$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma= \begin{cases}0, & f(x,-y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y) .\end{cases}
$$
其中, $D_1$ 为 $D$ 在 $y \geq 0$ 的部分.

②如果积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称, 则二重积分
$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma= \begin{cases}0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y) .\end{cases}
$$
其中, $D_1$ 为 $D$ 在 $x \geq 0$ 的部分.

③如果 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称, 则
$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(y, x) \mathrm{d} \sigma=\frac{1}{2} \iint_D(f(x, y)+f(y, x)) \mathrm{d} \sigma .
$$

## 三重积分（数一）
### (1) 选择坐标系    
直角坐标系下的三重积分表示:    
$$
\begin{aligned}
& \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iint_{D_{xy}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z \text { （先一后二) } \\
& \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\int_c^d \mathrm{~d} z \iint_{D_z} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \text { (先二后一) }
\end{aligned}
$$
柱坐标系下的三重积分表示:    
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta
$$
球坐标系下的三重积分表示:    
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^2 \sin \varphi \mathrm{d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{d} \theta .
$$
                
### (2) 三重积分的化简    
①若 $\Omega$ 关于 $x O y$ 面对称
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v= \begin{cases}0, & f(x, y,-z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_1} f(x, y, z) \mathrm{d} v, & f(x, y,-z)=f(x, y, z) .\end{cases}
$$
其中 $\Omega_1$ 是 $\Omega$ 在 $x O y$ 面上方部分, 关于 $y O z, x O z$ 面的对称性有类似的性质.    
② 轮换对称性    
如果积分区域关于变量 $x, y, z$ 具有轮换对称性 (即将表示积分区域的方程 $x$ 换成 $y$,    
        $y$换成 $z$ 或 $z$ 换成 $x$ 后表达式不变), 则
$$
\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(y, x, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(z, x, y) \mathrm{d} v .
$$

## 曲线积分化为定积分    
### (1) 若曲线 $L: y=\varphi(x), a \leq x \leq b$, 则
① 第一类曲线积分    
$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_a^b f[x, \varphi(x)] \sqrt{1+\left[\varphi^{\prime}(x)\right]^2} \mathrm{~d} x
$$
② 第二类曲线积分    
$$
\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_a^b\left\{P[x, \varphi(x)]+Q[x, \varphi(x)] \varphi^{\prime}(x)\right\} \mathrm{d} x .
$$

### (2) 若曲线
$L: x=x(t), y=y(t), z=z(t)\left\{\begin{array}{ll}a \leqslant t \leqslant \beta & \text { (第一类) } \\ t \text { 从 } \alpha \text { (起点)到 } \beta \text { (终点) } & \text { (第二类) }\end{array}\right.$ 段滑, 被积函数连续, 则
① 第一类曲线积分    
$$
\int_L f(x, y, z) \mathrm{d} s=\int_a^\beta f[x(t), y(t), z(t)] \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t .
$$
② 第二类曲线积分    
$$
\int_

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